Topologie - Wendelin Werner - 2017

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Janosch, 23.08.16, 8:00-8:20

Ich war der Erste :-). Das Protokoll hat Andreas Wieser gemacht (stellt sich als Andreas vor). Herr Werner stellt einen 20' Timer und hat keine Fragen schriftlich vorbereitet, sondern überlegt sie sich im Moment. Sehr angenehme Prüfungsatmosphäre, auch wenn man zwischendurch Mühe hat. Man sitzt an einem runden Tisch rechts gegenüber Andreas, links gegenüber Herr Werner. Man sitzt mit dem Rücken zur Türe, dafür hat man eine schöne Aussicht über Zürich. Der Tisch ist verhältnismässig klein, respektive man sitzt nahe aufeinander.

Fragen (zu meiner Überraschung keine Definitionen zu Beginn):

A kompakt, f stetig: zeige f(A) kompakt

metrischer Raum: zeige kompakt \(\Rightarrow\) folgenkompakt

Definition Fundamentalgruppe und erklären der Operation in der Gruppe. Zeige Assoziativität der Operation.

Arzela-Ascoli: Aussage und eine Anwendung auf \(f_n:[0,1]\to[0,1]\), wo ich den Diagonaltrick hätte brauchen sollen, habe das aber nicht verstanden.

Satz von van Kampen: Aussage und Anfang des Beweises der ersten Aussage

Nicholas, 23.08.16, 8:20-8:40

Werner beginnt bei mir mit Beweisfragen. Zuerst: Zeige dass wenn \(f\) stetig ist, und \(A\subset E\) kompakt ist, dann ist auch \(f(A)\) kompakt. Musste ich nicht ganz beweisen, er unterbricht sobald er merkt, dass man es kann.

Danach beweise, dass in metrischen Räumen Kompaktheit Folgenkompaktheit impliziert (hier will er von mir zwei Varianten hören, zuerst wie es im Skript steht, und dann "direkt", im Prinzip wie bei der Folgenkompaktheit von \([0,1]\) (man spaltet es in immer kleiner werdende Intervalle auf..)).

Satz von Van Kampen. Aussage, dann Anwendung zuerst auf den Kreis, dann auf die liegende Acht, und wie man das iterativ weitermachen kann. Dann Fundamentalgruppe einer Sphäre (\(S^2\)), dann dies mit einem Punkt rausgeschnitten, dann mit zwei Punkten rausgeschnitten. Wie vorhin will er dann hören, dass dies iterativ fortführbar ist.

Dazwischen (er kommt danach wieder auf Fundamentalgruppen zurück) will er noch über den Satz von Alexander reden. Aussage, und in welchen Beweisen benutzen wir es.

Dann: Was besagt das Auswahlaxiom? Was gibt es für Varianten davon? Ist der Satz von Tychonoff äquivalent zum AC?

Atmosphäre ist sehr angenehm, Werner ist sehr freundlich. Er stellt liniertes Papier zur Verfügung, was mir persönlich viel lieber ist als kariertes.

Filippo, 23.08.16, 10:30-10:50

Was ist ein zusammenhängender Raum?

Ist das Bild von einer zusammenhängendes Raum unter einer stetigen Abbildung zusammenhängend? (Ja, mit Beweisidee)

Beispiele von Fundamentalgruppen

Gibt es nicht kommutative Fundamentalgruppe? ("Nummer 8")

Gibt es endliche Fundamentalgruppen? (Ja, Sphäre modulo Identifizierung antipodaler Punkten)

Was besagt Urysohn's Metrisierbarkeitssatz? Braucht man dafür das Auswahlaxiom? (Nur das abzählbare)

Was besagt der Satz von Arzela-Ascoli? (mit Beweisidee)

In welchem Teilgebiet der Mathematik ist der Satz von Arzela-Ascoli wichtig? (Funktionalanalysis)

Prof. Werner und der Assistent sind sehr nett. Wenn man etwas nicht ganz korrekt sagt, schüttelt der Assistent ein bisschen den Kopf, so dass man sich korrigieren kann.

Giulia, 28.08, 10:30-10:50

Was ist ein kompakter Raum?

Was ist das Produkt von 2 topologische Räume? (Def. von Produkttopologie)

Beweisidee von E1 und E2 kompakt => E1xE2 kompakt (ich habe angefangen und fast sofort gestoppt, Prof. Werner hat mir ein bisschen geholfen und dann habe ich nur zusammengefasst, was man eigentlich machen soll)

Van Kampen: nur die Aussage

Fundamentalgruppe des Torus? Fundamentalgruppe von 2 Tori mit einen gemeinsamen Punkt?

Er hat mir gefragt, was ich über Überlagerungen sagen könnte aber darüber wusste ich nichts, ich habe es gesagt und er hat somit über Metrisierbarkeit gefragt:

Beispiel einer nicht-metrisierbarer Raum? Ist ein metrischer Raum immer Hausdorff?

Beispiel einer Hausdorff aber nicht metrisierbarer Raum?

Arik, 28.08, 16:10-16:30

(Ei,Ti) Familie von wegzusammenhängenden Räumen , ist der Produktraum mit der Produkttopologie wegzusammenhängend?

Umgekehrt wenn Produktraum wegzshgd. --> Jeder (Ei,Ti) wegzshgd?

Aussage von Van Kampen mit Anwendung auf Sphäre mit 1 Henkel, dann auf Sphäre mit 2 Henkel ( iterativ weiter ).

Beweis von Metrisierbarkeitssatz

fn: [0,1]--->[0,1] Funktionenfolge welche differenzierbar ist und |fn|<1 für alle n, was kann man darüber sagen und Anwendung von Arzela-Ascoli.

Zheng Chen, 28.08, 15:50-16:10

(E_i,T_i) Familie von wegzusammenhängenden Räumen , ist der Produktraum mit der Produkttopologie wegzusammenhängend? (wusste ich nicht)

Definition wegzusammenhängend

Was ist wegzusammenhängend im E_1xE_2? (gamma(t)=(gamma_1(t),gamma_2(t)))

Formen von Kompaktheit in metrischen Räumen (es existiert endliche Teilüberdeckung, folgenkompakt, vollständig und präkompakt)

Beweisidee kompakt <=> folgenkompakt

Was ist die Fundamentalgruppe? (Def.)

Ist es abhänging vom Punkt? (Nein, erwähne die Homotopie zwischen Schleifen um b&b')

Ist es eine Gruppe? (Ja, neutrales Element, ...)

Welche Strukturen haben interessante Fundamentalgruppen? (S^1, Torus, die Acht)

Beweis Metrisierbarkeitssatz (erwähnte Urysohns Lemma, wusste nicht weiter)

Ist die Zusammenhangskomponente immer abgeschlossen? (Ja)

Die Atmosphähre war angenehm, Professor Werner half weiter wenn man nicht weiter wusste. Wenn er merkt dass man nichts weiss geht er zum nächsten Thema. Keine Verspätung.

Lauro, 29.08, 7:00-7:20

Definition von Zusammenhang. Was ist stärker, wegzusammenhängend oder zusammenhgd? Beispiel für Raum der zusammenhgd aber nicht wegzusammenhgd ist (Bsp aus der Vorlesung). Warum ist der Raum zusammenhängend? Beweise, das der Abschluss eines zusammenhängenden Raums wieder zusammenhängend ist.

Was ist die Aussage von Van Kampen? Dann hat er ein Dreieck gemalt das eine Seite mit einem Quadrat gemeinsam hatte und nach der Fundamentalgruppe gefragt (wie bei der Acht). Dann hat er ein weiteres Dreieck angehängt, etc. Danach hat er eine kompliziertere Form gemalt, deren Fundamentalgruppe man durch iterative Anwendung von oben bestimmen kann.

Dann hat er zwei Formen gemalt und wollte wissen, ob sie homöomorph sind und warum nicht - hier musste ich bei beiden Zeichnungen zwei Punkte rausnehmen und dann sehen, das die Zusammenhangskomponenten unterschiedlich waren - hier bin ich nicht draufgekommen, er hat Tipps gegeben.

Wenn eine Folge f_n auf [0,1] zu null konvergiert, was kann man darüber sagen? (GGS) Beweise, dass die Folge GGS ist.

Was sagt der Metrisierbarkeitssatz? Beweisskizze.

Sylvain, 29.08, 7:20-7:40

Was ist die Definition von Wegzshgd?

Was ist die Aussage vom Satz von Van Kampen? (Hat dann Zwei Dreiecke gemahlt die eine Kante gemeinsam hatten, und ich musste die Fundamentalgruppe von der Vereinigung dieser finden. Achtung! Die einzelne Dreiecke waren nicht offen, man musste noch wie bei der FundGr von der "8" ein Teil des anderen nehmen um dieses Problem zu umgehen.)

Was ist stärker Wegzushgd oder Zushgd? (Wegushgd => Zushgd) Er wollte dann das Beispiel vom Skript hören: {x+i*sin(1/x)} und die Erklährung warum der Abschluss Zushgd aber nicht Wegzushgd.

Aussage Satz von Urysohn?

Was ist die Metrik auf dem Hilbertwürfel?

Warum induziert diese Metrik dieselbe Topologie wie die Produkttopologie?

Aussage Satz von Arzela-Ascoli?

Was geht schief wenn die Familie von Funktionen nicht GGS ist?

Ich war sehr nervös, konnte bei vielen Fragen nicht direckt Antworten oder wusste nicht genau was Professor Werner von mir wollte, er hat sich dann immer die Zeit genommen die Frage nochmal zu stellen und oft auch nocht einen Tipp zu geben.

Clemens, 29.08, 8:20-8:40

Def Zusammenhängender Raum

Produkt Zshgd Räume zshgd? Im endlichen Fall ja, beginne Beweis, Werner unterbricht.

Und im Unendlichen Fall? Stimmt auch, man kann es irgendwie auf den endlichen Fall zurückführen, ich wusste aber nicht wie.

Anwendung von Van Kampen: Werner zeichnet zwei Quadrate mit einer gemeinsamen Kante. Was ist die Fundamentalgruppe? Ich sage, man kann gleich argumentieren wie bei der Nummer 8 in der Vorlesung, denn ein Quadrat ist homöomorph zu einem Kreis. Dann zeichnete er ein Fenster, also ein Quadrat bestehend aus 4 Quadraten. Die Fundamentalgruppe findet man dann iterativ wieder mit Van Kampen.

Dann fragte er mich noch, wieso dieses Bild mit den zwei Quadraten nicht homöomorph zur Nummer 8 ist. (Bei der Nummer 8 gibt es einen Punkt, sodass der Raum ohne diesen Punkt nicht mehr wegzusammenhängend ist.)

Aussage vom Kriterium von Alexander?

Wie haben wir das gebraucht im Beweis von Tychonoff?

Aussage von Arzela-Ascoli?

Wie zeigt man, dass wenn A nicht GGS ist, dann A auch nicht kompakt ist? (Nur Hauptideen)

Aussage von Urysohns Metrisierbarkeitssatz?

Kennen Sie einen Raum, der nicht metrisierbar ist? (Z.B. ein Raum der nicht Hausdorff ist, denn jeder metrische Raum ist Hausdorff.)

Dann wollte er, dass ich trotzdem noch für ein unendliches Produkt von zshgd Räumen beweise, dass es zshgd ist. Er sagte, ich muss das nicht unbedingt können, er möchte jedoch sehen, wie ich an so etwas herangehen würde. Ich habe etwas probiert, bin nicht so richtig weitergekommen, und dann war die Zeit zu Ende.

Maic, 29.08, 8:00-8:20

Eindruck Gestartet hat Werner mit der Bemerkung, dass nach so vielen Prüfungen es ihm schwer Falle, noch Fragen zu finden. Das gab mir ein unangenehmes Gefühl - er machte den Eindruck, sich nun sehr komplizierte Sachen auszudenken - aber Werner sorgt dafür, dass man realtiv angenehm durch die Prüfung kommt (hilft wenn man stockt, stochert nicht wenn man was nicht weiss).

Als erstes fragte er mich, was ich über Kompaktheit im metrischen Raum erzählen kann. Ich startete mit der Definition, doch kaum war ich durch damit, wechselte er das Thema. Er wollte wissen, was ich über Arzela-Ascoli erzählen kann. Ich formulierte die allgemeine Aussage und gab ihm in Worten noch die Version mit gleichgradiger glm Stetigkeit. Dann schon wieder weiter zum Kriterium von Alexander. Ich gab ihm die Aussage zuerst mündlich, als ich sie aufschreiben wollte, unterbrach er und fragte ob ich die Subbasis der Produkttopologie geben kann. Dannach wollte er eine Anwendung. Wir sprachen über Tychonoff und sehr knapp über den Beweis, da ich nur die groben Schritte kannte. An dieser Stelle fragte er mich nochmals nach der Aussage von Arzela-Ascoli, nach einer kurzen Verwirrung sagte ich ihm, dass wir das doch schon gemacht haben. Ach ja, also dann lieber den Satz von Van Kampen. Ich gab ihm die Aussage und musste die Hauptidee des Beweises sowie die Surjektivität des Gruppenmorphismus zeigen (Zwischenfrage; wie zeigen dass nur endliche Produkte von Wegen, etc. ich murmelte irgendwas von Auswahlaxiom). Schliesslich noch fragen zu Fundamentalgruppe höherdimensionalen Wege, wo ich nicht viel wusste, ich versuchte irgendwas mit Produkt von wegzusammenhängenden Wegen ist wegzusammenhängend. Als abschliessende Frage wollte er noch was über Quotiententopologien höhren. Ich wusste die formele Definition nicht, also erzählte ich ihm etwas über ein paar Beispiele die wir hatten (Möbius, Torus, Kleinsche Flasche)

Fazit Da er weiter geht, wenn er merkt, dass man es kann, kommen sehr viele Sachen dran. Es ist aber nicht weiter schlimm, wenn man mal etwas nicht weiss. Aus den Einblicken möchte er anscheinend einfach, dass man ein wenig erzählen kann. Man merkt, dass er sich die Fragen direkt aus dem Hut zaubert, was einem manchmal eine Verschnaufpause gibt. Leider gab es dadurch aber auch einige Verwirrungen, er bleibt jedoch einer der angenehmeren Prüfer.

Raffael, 29.08., 9:30-9:50

Werner hat mich zuerst darauf hingewiesen, dass er nur schwierige Fragen übrig habe. Wir haben dann über die Einpunktkompaktifizierung gesprochen und erhat mich gefragt, wo man das benutzt (Metrisierbarkeit n-dim. Mannigfltigkeiten). Dann ging das Gespräch Richtung Fundamentalgruppen und Wege und er hat mich gefragt, was ich über höherdimensionale Wege (also nicht Schleifen) sagen könne. Dann Aussage von Urysohns Metrisierbarkeitssatz (endlich mal etwas einfaches), Gruppeneigenschaften der Fundamentalgruppe mit den entsprechenden Homotopiebeweisen. Dann hat er mir eine Kugel, die an einer Art Schnur befestigt ist, hingezeichnet und gesagt, ich solle mir überlegen, ob dieser höherdimensionale Weg vom Basispunkt abhängt oder nicht.

Giulia, 29.08, 13:00-13:20

Die Prüfung wahr sehr angenehm. Er versuchte immer originelle Fragen zu stellen und hat auch immer wieder gesagt, wenn es eine schwierige Frage war, das sie man nicht beantworten muss, sondern nur sagen soll was man so machen würde.

Zu den Fragen: als erstes hat er mich gefragt warum die Trennungseigenschaften auf einen Metrischen Raum gelten. Dann wollte er von zwei würfeln die zusammengeklebt sind und wo man nur die kanten betrachten muss die fundamentalgruppe wissen. Dann metrisierbarketssatz mit beweis, aber er hat mich ziemlich bald gestoppt und gesagt es sei schon ok. Dann hat er mich noch gefragt ob [0,1]^R metrisierbar ist und als ich gesagt habe: nein, da es nicht zweitabzählbar ist, wollte er noch einen "expliziten" beweis das eine metrik nicht existieren kann. Hier hat mich aussprechene lassen, auch wenn ich selber ideen gewächselt habe und nicht wüsste ob es der richtige weg sei, er hat mir dann geholfen wenn ich nichtmehr weiter gekommen bin. Die letzte Frage war die Fundamentalgruppe von der sphare mit der quotiententopologie wo x=-x ist.

Dann hat er mir gute Ferien gewünscht und das war es schon:)

Davide, 30.08.16, 8:00-8:20

Fundamentalgruppe von S2 berechnen, S2 ohne ein pkt, zwei S2's zusammengeklebt

Was ist mobiusband? Wieso nicht homom zu zylinder?

Was ist alexander kriterium? Wie kann man es anwenden, um den satz von tychonoff zu beweisen? (Also... Beweisskizze)

Was kann ich über eine fallende folge von abg, zshg mengen sagen? (Wenn den raum kompakt und hausdorff ist, dann...) (Mit beweiskizze)

Luca, 01.09, 7:20-7:40

Er hat mich Sache über die Vorlesung gefragt. Metrisierbarkeitssatz mit Beweis und dann auch Urysohns Lemma. Dann hat er mich die Definition von zweitabzählbar gefragt und etwas über Subbasis und Basis aber ich erinnere mich nicht ganz genau was. Danach haben wir über van Kampen gesprochen und er möchte die Aussage wissen und das Beweis des ersten Aussages. Wenn ich ein Problem hatte, hat er mich ein Typ gegeben so dass ich es weiter machen könnte. Er wollte auch Beispiele wissen, wo wir van Kampen benutzen. Noch die Aussage von Arzela Ascoli und das Beweis. Sein Wecker hat geklingelt und so hat er mich noch die Fundamentalgruppe von der Torus gefragt. Dann waren wir

Milos, 01.09.2017, 10:50-11:10

Satz von Van Kampen mit Beweis des ersten Teils

Einige Anwendungen von Satz von Van Kampen mit Beweis, dass Fundamentalgruppe von der Sphäre trivial ist.

Quotiententopologie, kleinsche Flasche

Einpunktkompaktifizierung mit Beweis, dass sie kompakt ist.

Arzela-Ascoli, Aussage, Anwendung: Famile F von Funktionen, sodass für alle f von F gilt, dass der Betrag der Ableitung kleiner als 1 ist, was folgt für die Familie?

Zwischendurch wurden immer wieder Definitionen und Sätze von überall gefragt.

Patrick, 01.09.2017, 11:10-11:30

Prof. Werner war wirklich sehr nett. Erstens hat er mir gefragt was eine Zusammenhängskomponente ist. Dann wollte er hören ein paar Eigenschaften (mit Begründung/Beweis): Zshg.., Grösste zshg Teilmenge.., abgeschlossen.. .

Dann Urysohn's Metrisierbarkeitssatz mit Beweisidee (zeige, dass ein normaler, Hausdorffsche zweitabzahlbare top. Raum Homöomorph zu Teilmenge des Hilbert-Würfel ist und explizite Angabe der Homoömorphismus).

Danach haben wir über Fundamentalgruppe gesprochen. Definition. Dann hat er mir zwei Beispiele gegeben: S^2 ohne ein Punkt und dann S^2 ohne 2 Punkte.

Schliesslich hat er mir gefragt ob ich etwas über VanKampen Satz erzählen konnte. Ich habe den Satz geschrieben (beide Teile) und kommentiert (auch ein paar Worte über der verallgemeinerte Version). Dann hat der Timer geklingelt und das heisst 15 min waren um. Er hat mir gefragt ein Anwendung-Beispiel von Satz (Teil2) zu Vorstellen und, nachdem ich gefragt habe ob es ok war, habe ich der Beispiel von der "liegende 8" präsentiert.

Dann hat er gesagt: "Gut, Sie sind jetzt in Ferien :-)".

Samuel, 01.09.2017, 13:20-13:40

Definition von zusammenhängendem Raum.

Aussage von Urysohn's Lemma.

Anwendung/Übung: Zeigen, dass ein normaler, Hassdorfscher und Zshgd. Raum mit mindestens zwei Elementen überabzählbar viele Elemente besitzt.

Aussage von Van Kampen + Beweis Idee.

Anwendung/Bsp: Fundamentalgruppe zwei Dreiecke mit eine gemeinsame Kante, Fundamentalgruppe eine kompliziertere Form, erste Fundamentalgruppe des Würfels (nur Kanten und Ecken ).

Aussage Arzelà-Ascoli + Beweis Idee.

Anonym, 02.02.2018

• Definition Fundamentalgruppe mit Beispiel (Sphaere modulo antipodaler punkte hat Fundamentalgruppe C_2)
• Anwendung van Kampen: 2 Vierecke, iterative Fortsetzung, Verbindung des letzten mit dem ersten Kaestchen, van Kampen darauf anwenden.
• Metrisierbarkeitssatz mit Beweisskizze
• Beispiel nicht metrisierbare Menge: [0,1]^R. Beweise, dass sie nicht metrisierbar ist (Nagata Smirnov, [0,1]^R nicht sigma-lokalendlich)
• Beweis Produkte endlich vieler Raeume is kompakt, genau beweisen (Zwischenfrage: braucht kein Auswahlaxiom)
• Definition Überlagerung, Beispiel (cos t, sin t) -> S1, wie haengt die Fundamentalgruppe von E/~ mit Fundamentalgruppe von E zusammen: Fundamentalgruppe von E/~ is groesser (einmal um den Kreis ist nur Gerade in E)
• Kleinsche Flasche