Topologie - Wendelin Werner - 2016

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Lukas, 22.8., 9:20 - 9:40

Zuerst wird man vom Hauptassistenten und Professor Nelson begrüsst, der Hauptassistent schaut sich kurz die Legi an. Dann erklärt Prof. Nelson den Prüfungsmodus: Er stellt erst einmal einen Timer für 16 Minuten. Er wird drei Fragen stellen, also hat man etwa fünf Minuten Zeit pro Frage. Man kann auf Deutsch oder Englisch antworten, Prof. Nelson wird aber immer Englisch reden. Ich habe mich für Englisch entschieden. Die Fragen werden nicht mündlich gestellt, sondern Prof. Nelson legt ein Blatt hin, auf dem die Frage auf Deutsch und auf Englisch steht. Man schreibt auf ein weisses A3-Blatt.

Meine erste Frage war die fünfte Frage von der Liste, die vorher vom Hauptassistenten rumgeschickt wurde: Zeige, dass jeder kompakte Hausdorffraum normal ist. Ich beginne, indem ich zeige, dass solch ein Raum regulär ist. Nelson unterbricht mich, nachdem ich die offenen Mengen konstruiert habe, die einen Punkt von einer abgeschlossenen Menge trennen. Danach erkläre ich nur kurz, wie man damit zeigt, dass der Raum normal ist.

Meine zweite Frage ist die neunte Frage von der Liste: Die Zerlegung der Eins mit Beweisskizze. Ich vergesse an einer Stelle zu sagen, dass die Mengen, die ich gerade konstruiere, wieder eine Überdeckung sind, erkenne aber den Fehler selbst.

Meine dritte Frage war nicht von der Liste, und hatte zwei Teile:

a) Zeige, dass wenn \(C\) eine abzählbare Menge des \(\mathbb{R}^2\) ist, dann ist \(\mathbb{R}^2\setminus C\) zusammenhängend.

b) Zeige, dass der Rand einer nichtleeren, beschränkten, offenen Teilmenge \(U\) des \(\mathbb{R}^2\) nicht abzählbar ist.

Bei a) musste ich erst lange überlegen. Meine Idee war, zu zeigen, dass der Raum immernoch wegzusammenhängend ist. Ich habe erst etwas schwammig gesagt: Ich würde versuchen, erst eine direkte Verbindung zu testen, um zu sehen, ob sie "funktioniert", und die dann zu reparieren. Prof. Nelson fragt, wie ich im konkreten Fall vorgehen würde, dass wir alle Punkte, deren Koordinaten beide rational sind, rausnehmen. In diesem Fall würde ich nutzen, dass von zwei Punkten je mindestens eine Koordinate irrational ist, man kann also diese fixieren, und zu einem Punkt mit zwei irrationalen Koordinaten gehen, und dann parallel zu den Koordinatenachsen zum zweiten Punkt.

Die Aufgabe b) sollte ich aus a) herleiten, das ging dann nach ein bisschen nachdenken: Wenn der Rand abzählbar wäre, wäre nach a) der Raum \(\mathbb{R}^2 \setminus \partial U\) immer noch zusammenhängend. Da aber sowohl \(U\) als auch das Komplement des Abschlusses von \(U\) nichtleer (da \(U\) beschränkt) und offen, disjunkt sind, ist \(\mathbb{R}^2 \setminus \partial U\) sicher nicht zusammenhängend.

Danach war meine Prüfung vorbei, der Timer hat dann geklingelt, der Hauptassistent und Prof. Nelson haben sich verabschiedet und noch einen schönen Tag gewünscht.

Cecilia, 22.8., 10:40 - 11:00

Professor Nelson hat mich nur Fragen des "Fragenkatalogs" gestellt, nämlich Frage 2, Frage 17 und Frage 25.

Barbara, 22.8., 14:00 - 14:20

Professor Nelson hat mir die Fragen 3 (Zusammenhang), 9 (Zerlegung der Eins) und 25 (Arzela-Ascoli) aus dem Fragenkatalog gestellt. Danach fragte er nach dem Beweis von kompakt \( \Leftrightarrow \) total beschränkt und vollständig in metrischen Räumen. Ich blieb stecken, dann fragte er stattdessen, ob die punktweise Beschränktheit in Arzela-Ascoli notwendig ist.

Anna, 22.8., 16:00 - 16:20

Auch ich wurde hauptsächlich Fragen aus dem Fragenkatalog gestellt, nämlich Frage 3, Frage 19 und Frage 10 und 24 (wobei die letzten beiden Fragen zusammen waren).

Bei Frage 3 wollte er den ganzen Beweis sehen, bei Frage 19 aber nur die Aussagen ohne ein Beweis der Äquivalenz von \(X\) lokal kompakt Hausdorff genau dann wenn die Einpunktkompaktifizierung kompakt Hausdorff ist. Bei 10 und 24 machte er noch einen kurzen Abstecher zur Definition einer Basis, wie die von ihr erzeugte Topologie aussieht und wie man bestimmen kann, dass eine Menge von Teilmengen eine Basis bildet (Wenn für jedes \(x\) und jede Umgebung \(U\)von \(x\) es ein Element \(C\) aus der Menge gibt, so dass \(x \in C \subset U\)).

Dann fragte er mich nach der Aussage vom Urysohns Metrisierbarkeitssatz, fragte aber zuerst noch, wie man zeigen kann, dass eine n-Mannigfaltigkeit metriserbar ist. Hierfür verwendete ich dann den Metrisierbarkeitssatz und blieb aber ein wenig stecken gegen Schluss. In den letzen paar Sekunden fragte er mich dann nach der Beweisidee vom Metrisierbarkeitssatz.

Im Allgemeinen war die Atmosphäre sehr entspannt. Man kriegt einen Block Papier auf dem man draufschreiben kann und Prof. Nelson ist ziemlich nett und aufmerksam dabei. Man sollte darauf vorbereitet sein, dass er mal einen kurzen Abstecher macht, um zu sehen, ob man auch Details begriffen hat. Rumhacken tut er aber nicht.

Joel, 23.08., 08:00 - 08:20

Zuerst kam Frage 1 mit Beweis. Danach stellte er die Fragen 19 und 10, wollte bei beiden aber nur die Aussage und 1-2 Ideen zum Beweis hören. Was er wissen wollte, war dann folgendes: Was ist eine Mannigfaltigkeit? Ist sie metrisierbar? Wie geht der Beweis und an welcher Stelle benötigt man welche Bedingung der Mannigfaltigkeit respektive welchen Teil aus den Aussagen von 19 und 10 (penibel für jede Bedingung, aber informell). Zum Beispiel reichte ihm zu Normalität im Metrisierbarkeitssatz: Damit kann man Urysohn-Funktionen finden, deren Folge einen Homöomorphismus auf \([0,1]^{\ \mathbb{N}}\) bildet.

Er prüft sehr angenehm und hat eine gute Fragestellung, bei der man schnell erkennt, worauf er hinauswill.

Aline, 23.08., 08:40 - 09:00

Bei mir kamen genau die Fragen dran 1, 19 und 24 in Kombination mit 10 dran. Bei Frage 19 wollte Prof. Nelson auch die Definition von einer Umgebung (eine Menge, die den Punkt enthält und auch ihr Inneres enthält den Punkt). Er hat mich aber ziemlich schnell unterbrochen, nachdem ich alle Behauptungen und Bedingungen aufgeschrieben habe. Den Metrisierbarkeitssatz habe ich erst einmal aufgeschrieben. Ich habe gesagt, dass die Einpunktkompaktifizierung der n-Mannigfaltigkeit (auch diese Definition wollte er) alle Bedingungen des Metrisierbarkeitssatzes erfüllt und sie deshalb metrisierbar ist. Zu dem Beweis des Satzes habe ich eigentlich nur erzählt, dass man den Homöomorphismus braucht. Er wollte dann noch wissen warum man die Normalität fordert (damit man Urysohn anwenden kann). Die Zeit ging ziemlich schnell rum. Prof. Nelson ist sehr nett, ruhig und gibt gute Hilfestellung, wenn man nicht weiter kommt.

Phillip, 23.8., 10:20 - 10:40

Bei mir kamen die Fragen 1, 19, 22 (und 10) Bei Frage 10 hatte ich absolut keine Ahnung und habe gefragt ob ich echt eine andere Fragen bekommen könnte. (Klar gibt das Abzug, aber lieber Abzug und ne Frage von welcher ich Ahnung habe, als eine wo ich keinen Schimmer habe.) Er lässt einem genug Zeit zum Überlegen und korrigiert einen, wen man einen Fehler macht. Bei mir war das bei Frage 1 der Fall als ich dummerweise epsilon und delta verwechselt habe. Hab bei Frage 22, da ich nur noch 1min Zeit hatte, kreuz und quer argumentiert. Hat er wohl nicht als schlimm empfunden. Im grossen und ganzen eine angenehme mündliche Prüfung.

Vladimir, 23.08., 10:40-11:00

Bei mir kam genau das gleiche wie bei Joel und Aline. Ich weiss nicht mehr genau was davon in welcher Reihenfolge gefragt wurde, aber ich kann sagen dass Nelson ein sehr angenehmer Prüfer ist und einem Zeit zum überlegen gibt. Ist also nicht schlimm wenn man kreuz und quer argumentiert.

Nadir, 23.08., 11:20-11:40

Bei mir kamen die Fragen 1, 19, und 10/24 (zusammen) vor. Obwohl bei Frage 1 ich anfangs Probleme hatte, er hat mir Zeit gegeben um zu überlegen, und ich kam dann auf die Lösung. Folglich fragte er mich nach der Definition von von einer Metrik induzierten Topologie. Bei Frage 19 musste ich einfach die Definition geben, uns sagen ob \(\mathbb{R}\) lokal kompakt ist. Dann beim Metrisierbarkeitssatz und Mannigfaltigkeiten, konnte ich die Aussage vom Satz sagen, bzw. die Definition von Mannigfaltigkeit. Schlussendlich kam die Frage "Sind Mannigfaltigkeiten normal?", und da blieb ich stecken und habe zuerst "nein" geantwortet. Nachdem er mich nach einem Gegenbeispiel fragte, hatte ich Panik, aber am Ende kam die Frage "sind metrische Räume normal?" und da ich gesagt hatte, dass Mannigfaltigkeiten metrisierbar sind, konnte ich "ja" antworten.

Malte, 23.08., 13:20-13:40

Ich habe die Prüfung auf deutsch gehalten.

Zuerst: "E kompakt, Hausdorff normal?"

Danach: "Was ist die Fundamentalgruppe, was ist die Fundamentalgruppe von ner 8, nem punktierten Torus?".

Hier war ich mir nicht sicher wie argumentieren, dass die Kreise mit den Beinchen Fundamentalgruppe Pi haben.

Dann: "Für k-viele abg , disj Mengen A1,..,Ak in einem normalen Raum, gibt es eine Funktion nach [0,k] die auf A_i=i?"

Ja, habe mit Urysohns Lemma argumentiert, Tietze wäre einfacher.

"Was für unendlich viele?"

Neh, unendliche Vereinigung von abg Mengen kann Probleme geben. z.B. A_n={1/n}_n.

"Wenn ich ne Folge ohne konvergente Teilfolge habe, kann ich eine stetige, nicht beschränkte Funktion nach R finden?"

Da hab ich erst verpeilt dass das ne Anwendung von oben ist, hab durch Metrik zu teilen versucht, wurde dann darauf hingewiesen. Ich war mir nicht ganz sicher ob die Vereinigung der Punkte abgeschlossen ist. Wenn ja, geht Tietze.

"Hast du noch ne coole Frage?"

Wann sind unendlich dimensionale Vektorräume lokal kompakt? Anscheinend nie. (For those who wonder, that's the reason: [1] - admin.)

Moji, 23.08., 13:40-14:00

Ich habe die Prüfung auf englisch gemacht und wurde zuerst auch wie Malte gebeten, zu zeigen, dass kompakte, Hausdorff Raeume normal sind und danach auch Fundamentalgruppe von der Nummer 8 und vom punktierten Torus bestimmen; Zum Schluss hatte ich ebenfalls die Aufgabe mit den abg, disj. Mengen, jedoch stand ich da ein bisschen auf dem Schlauch mir wurde aber reichlich geholfen und dann war die Zeit auch schon wieder rum. Beide sind sehr angenehme Pruefer! :)

Oliver, 23.08., 16:20-16:40

Zuerst hat mir Professor Nelson die Fragen 3 und 16 von der Liste gestellt. Bei beiden Fragen wollte er auch ein Gegenbeispiel sehen, welches zeigt, dass die Rückrichtung der Aussagen im Allgemeinen nicht gilt (das heisst ein Beispiel für eine nicht zusammenhängende Teilmenge eines Raumes mit zusammenhängendem Abschluss und ein Beispiel für eine Quotientenabbildung, welche nicht offen oder abgeschlossen ist.

Die dritte Frage war nicht von der Liste und lautete wie folgt:

Sei \( (E,d) \) ein metrischer Raum mit der Eigenschaft, dass jede stetige Abbildung \( f : E \rightarrow \mathbb{R} \) beschränkt ist. Zeige, dass \( E \) ein kompakter Raum ist.

Paul, 24.08., 8:00-8:20

Eingangs genau wie bei Oliver: Erste Frage war die 3 vom Blatt: Def'n connected, A connected \( \Rightarrow \bar{A}\) connected (Warum kann ich im Beweis A auch mit closed sets teilen?). Danach die 16 (wo braucht man die Subjektivität, was sind saturated opens?), auch hier wieder mit Gegenbsp. Danach, auch wie bei Oliver, die Frage nach der Kompaktheit von E. Hier scheint Tietze die Lösung zu sein, wenn man nicht explizit ein Gegenbsp findet.

Allgemein: Beide sind (auch früh morgens) sehr entspannt, helfen wo’s nur geht, klasse Atmosphäre. Nelson will keine detaillierten Beweise, sobald er sieht dass man weiss was man tut und wo man hin will, bricht er ab. Obwohl ich mich öfter verhaspelt habe, vor und zurückspringen musste um zu sagen dass dieses oder jenes nun open/closed/hellgrün/connected ist, war das für Nelson in Ordnung. Ich hatte die Prüfung auf englisch.

Isaia, 24.8., 11:00 - 11:20

Professor Nelson hat mich nur Fragen 9, 12 und 25 gefragt .

Manvir, 24.8., 13:00 - 13:20

Professor Nelson hat mich zunächst zum Produkt von zwei zushgd'en Räumen befragt, dann Zerlegung der Eins und letztlich noch Arzela Ascoli.

Nick, 24.08 15:00 - 15:20

Wie davor, Produkt von zshgder Räume, Zerlegung der Eins und Arzela Ascoli.

Carl, 24.08 16:40 - 17:00

Es kamen Fragen 12 (Produkt von zwei zusammenhängen Räumen zusammenhängend), 9 (Zerlegung der Eins), 25 (Arzela Ascoli) dran. Nelson ist ein sehr angenehmer Prüfer, er lässt einen ausreden und fragt gezielt Einzelheiten nach, sodass man sehr gut versteht was verlangt wird. Keine wirren Fragen wo man raten muss was der Professor grade denkt ;). Hier noch ein etwas ausführlicheres Protokoll für den Fall das es jemandem hilft:

Erste Aufgabe:

Nelson: Was ist denn ein zusammenhängender Raum?

Ich: Normale Definition mit offenen Mengen

Nelson: Kennst du noch eine äquivalente Definition?

Ich: \(\Phi: E\rightarrow \{0,1\}\) mit der diskreten Topologie stetig, dann ist \(\Phi\) konstant, das werden wir auch im Beweis benutzen.

Nelson: Kennst du noch eine?

Ich: Äh.. ja man kann auch abgeschlossene Mengen anstatt offenen Mengen nehmen.

Nelson: Good, continue.

Beisitzer: Wie sieht die Produkttopologie aus?

Ich: gebe erst die allgemeine Definition (Es ist die Topologie die von \(\mathfrak{U}\) erzeugt wird, wo \(\mathfrak{U}\)...) aber werde direkt wieder vom Beisitzer unterbrochen

Beisitzer: Wie sehen offene Mengen konkret aus?

Ich hab kurz ein Brett vorm Kopf, bis ich drauf komme das er einfach nur hören wollte was es heisst das die Topologie von \(\mathfrak{U}\) erzeugt wird. Ich will grade mit dem Beweis weiter machen (bin etwa bei der Hälfte), dann bricht Nelson ab und es kommt die nächste Aufgabe.

Ich gehe die Beweis Skizze sehr grob durch, damit ich diesmal wenigstens zum Ende komme. Als ich grade zeigen will, das die \(g_1+...+g_n = 1\), fragt

Nelson: Ok that's enough. In the beginning you said the Space has to be Hausdorff, where was this used in the proof

Ich hatte Hausdorff am Anfang aufgeschrieben, da es so im Skript stand, ich hatte aber beim lernen schon nicht verstanden wo das gebraucht wird ich sage also

Ich: Es steht so im Skript, aber ich hab keine Stelle gesehen wo es gebraucht wird

Nelson: Good, it is actually not needed

Nächste Aufgabe: Ich frage erst an den Beisitzer gewannt welche Version des Satzes Sie hören wollen, er sagt das es egal ist. Ich fange also mit dem Beweis aus der Übung an, mache eine noch gröbere Skizze, ohne auf Details einzugehen. Am Ende kommen dann einige Fragen

Nelson: Wo wird gebraucht, dass die \(\mathcal{F}\) punktweise beschränkt

Ich: Hier, und zeige mit dem Finder auf die Stelle :)

Nelson: Ist die Menge der Funktionen \(f_n(x) = \sin(nx)\) gleichgradig stetig?

Ich muss kurz überlegen, schreibe noch die Definition von gleichgrasig stetig auf

Ich: Nein, denn...

Nelson: Very Good. The exam is over.

Simon, 01.09 10:20 - 10:40

Nelson fragte mich die Punkte 1 und 9 von seiner Liste. Dann kam eine Zusatzfrage (die lautete ungefähr so):

Sei (X,T) ein lokalkompakter Hausdorffraum, (xn) (alle Folgenglieder verschieden) eine Folge in X ohne konvergente Teilfolge. Zeige:

Es existiert f von X nach [0,1] stetig, s.d.

(a) \(f_n(x) = 1/n\)

(b) Für alle \( \epsilon \geq 0 \) gilt: \( \{ x \in E \mid f(x) \geq 0 \} \) kompakt