Mass und Integral - Martin Schweizer - 2015

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26.08.2015, 13:45, Nesa

Carathéodory: was ist die Aussage? Beweis skizzieren. Einige Schritte mehr in Detail: wie zeigt man, dass R in A* ist? Wie zeigt man Eindeutigkeit? Dann fragt er, wofür wir Carathéodory benutzt haben. Ich sage: um Existenz und Eindeutigkeit des Lebesgue-Masses zu zeigen, und sonst später noch in andere Sätze, wie zB Daniell-Kolmogorov. Er möchte sonst wissen, wo wir die Proposition über Eindeutigkeit sonst noch benutzt haben, und wir haben dann über endliche Produktmasse und Übergangskerne gesprochen.

25.08.2015, 14:15, Matthias

Zunächst Satz von Radon-Nikodym. Wollte Aussage des Satzes, wichtige Definitionen dazu, dann ist er durch den Beweis gegangen. Musste "interesante" Punkte näher erläutern (vor allem Schritt 3 und 4). Dann Definition des Integrals; wie man da hin kommt. Dann Beispiel für Funktionen, die nicht messbar sind (Indikatorfunktionen nicht messbarer Mengen). Lezte Frage, warum man Integral i.A. nicht für Funktionen in allgemeine Massräume definieren kann (es fehlt Struktur wie Ordnungsrelation etc.).

25.08.2015, 16.00 Uhr Laurin

Er fragt mich, ob mir Ionescu-Tulcea etwas sage und ich verweise auf Daniell-Komogorov. Er fragt mich weiter nach kompakten Klassen und möchte die Verbindung zu polnischen Räumen hören, auf die ich allerdings nicht komme. Dann fragt er mich nach einem Beispiel für eine Familie von Massen, wie man sie bei Daniell-Kolmogorov benötigt. Wie sich herausstellt meint er mit Beispiel allerdings kein konkretes Beispiel, sondern die Konstruktion von endlich Massen und so erwähne ich den Übergangskern und dessen Bedeutung zur Konstruktion endlicher Produktmasse. Zum Schluss fragt er mich nach Konvergenzsätzen und ich beweise Beppo-Levi. Er fragt noch nach dem Zusammenhang von Treppenfunktionen und messbaren Funktionen.

25.08.2015, 14.45 Uhr Nicola

Wir beginnen mit den Littlewood-Prinzipien: Ich nenne ihm den Satz von Egorov. Schweizer möchte Aussage und Beweis sehen. Den Beweis wusste ich nicht. Weiter mit der Hahn-Zerlegung, Definition von \( \mu \)-positiv bzw. -negativ. Konnte vom Beweis nur die Eindeutigkeit zeigen. Zum Schluss noch die Aussage von Caratheodory mit Beweis. Zwischendurch fragt er noch, was ein Prämass ist. Konnte den Beweis skizzenhaft abschliessen. Den Beweis zum Argument der Eindeutigkeit wollte er noch genauer sehen (schildere ihm die Idee via Dynkin-System und für \( \mathcal{E} \) \( \cap \)-abgeschlossen ist \(d(\mathcal{E}) = \sigma ( \mathcal{E} ) \).

25.08.2015, 14.15 Uhr, Sanzio

Ionescu-Tulcea, Übergangskern mit Beispiel; Integral, \(E_{+}^{*}\) (Wieso A-mb Funktionen liegt da?); \( f\geq 0, \int f d\mu = 0 ...?\)

25.08.2015, 13.15 Uhr, Viviane

Littlewood-Prinzipien: Alle angeben, eines davon aussuchen und Beweisstrategie dazu. Ich nahm Caratheodory. Also, dass Lebesgue messbare Mengen fast endliche Vereinigung von Intervallen sind. Eindeutigkeit wusste ich nicht, wie. Erklären, was von Satz ich für Lebesgue Mass gemacht habe und was auch allgemein geht. Dann Konstruktion von Integral, und wieso mit \(\epsilon_*^+\) alle messbaren Funktionen getroffen werden. (Aufteilung des Wertebereichs und Konstruktion einer annähernden Treppenfunktion.) Dann noch irgendwas kleines, das ich nicht mehr weiss.

Ich fand die Atmosphäre nicht so angenehm und gemütlich...

25.08.2015, 13.15 Uhr, Alessandro

Zuerst musste ich die Hölder-Ungleichung beweisen, dann noch einige kleinere Fragen zu \( L^p \)-Räumen (die üblichen Sachen, warum ist das eine Norm, warum für \( \mathcal{L}^p \) nur eine Seminorm usw. usw.). Schliesslich wollte er die Konstruktion des Masses auf unendlichen Produkträumen sehen; ich schrieb also die Konsistenzbedingung hin, dann noch die Aussage von Daniell-Kolmogorov. Er wollte noch die Aussage von Caratheodory sehen. Abschliessende Frage: "Wann bekomme ich die zusätzliche Eigenschaft im Satz von Daniel-Kolmogorov geschenkt?" (Wenn \( \Omega_\lambda \) ein polnischer Raum ist und \( \mu_\lambda \) ein Mass bzgl. der Borel-\( \sigma \)-Algebra.)

25.08.2015, 09:00 Uhr, Johannes

Um etwas vorauszuschicken: Schweizer ist ein wirklich angenehmer Prüfer; wenn ich etwas mehr gekonnt hätte, wäre die Prüfung ein wahrer Genuss gewesen ;). Zum Inhalt:

• 1) Daniell-Stone: konnte ich nicht richtig darum gings schnell weiter. (Ich denke, wenn man die Aussage und die Beweisidee mit allen Definitionen kennt genügt das bei weitem.
• 2) Konstruktion des Integralbegriffes mit Beweis der Eindeutigkeit für positive messbare Funktionen.
• 3) Bebbo-Levi und dominierte Konvergenz. Da wollte er die Verallgemeinerung von dominierte Konvergenz wissen:

Funktionenfolge konvergiert in L1 genau dann wenn sie stochastisch konvergiert und GI ist. (Weiss nicht ob er denn genauen Beweis will; ich kannte ihn auf jeden Fall nicht).

• 4) Konstruktion der Lp Räume; scheint sehr beliebt zu sein. Da will er die kleinen Argumente hören z.B. wieso die Dreiecksungleichung erfüllt ist (Minkowski) oder weshalb die dritte Normeigenschaft zu Beginn nicht erfüllt ist (f=0 nur u-f.ü.).

25.08.2015, 08:45 Uhr, Joel

Die Prüfung beginnt mit der üblichen Verspätung. Schweizer schaut auf sein Inhaltsverzeichnis, und sagt, ich solle etwas über topologische Räume erzählen. Ich führe aus über Topologien, stetige Funktionen, Stone-Vektorverbände, stetige positive Linearformen und formuliere mit etwas Mühe Daniell-Stone. Wir diskutieren über die Wichtigkeit der Korrespondenz von obigen Linearformen und Integralen. Dann muss ich ausführen, wie \(\int f\,\mathbb{d}\mu \) für geeignete \(f\) definiert ist. Zum Schluss soll ich Konvergenzsätze angeben (bei Lebesgue fehlt mir eine Bedingung, was ich auch sage) und Lebesgue beweisen. Erst als der Beweis mit meinen Bedingungen ad absurdum geht, interveniert Schweizer und fragt, ob ich die fehlende Bedingung nun gefunden habe. Allgemein sehr entspannte Prüfung; da Galimberti dabei ist, kann man leider nicht Mundart sprechen.

24.08.2015, 16:45 Uhr, Alessio

Die Prüfung fing mit einer kurzen Verspätung an. Wir unterhielten uns über messbare Abbildungen, gingen ein bisschen auf sigma-borel Algebren ein, haben den Integralbegriff eingeführt, Normaldarstellung, wieso der Integralbegriff dann auch wohldefiniert ist. Dann auf den erweiterten konvexen Kegel eingegangen und Existenz von Massen auf Produkträumen. Die Prüfungsatmosphäre war ganz entspannt, was mich aber gestört hat, war dass Schweizer bei mir nicht auf Beweise oder Sätze eingegangen ist, so waren die Fragen thematisch zwar einfacher, aber nicht umbedingt angenehmer (für mich zumindest) zum Beantworten.

24.08.2015, 16:30 Uhr, Janis

Ich kam ca 5 min später dran als geplant. Prof. Schweizer hat zuerst L^p Räume abgefragt: Ich sollte sie definieren für alle p (auch für p=unendlich). Dann wollte er von mir den Satz von Fischer-Rietz bewiesen haben: Ich konnte Vollständigkeit nicht zeigen, woraufhin er von mir sehen wollte, dass die Normbedingungen erfüllt sind (auch für p keine natürliche Zahl). Nachdem ich das nur für p aus den natürlichen Zahlen zeigen konnte, wollte er, dass ich den Integralbegriff von Grund auf erkläre. Dazu musste ich dann Satz 2.3 zeigen. Kann mich den anderen nur anschließen: Prof. Schweizer war sehr nett und hat für eine entspannte Atmosphäre gesorgt.

24.08.2015, 14:30 Uhr, Pauline

Ich kam erst 15 Minuten später dran als geplant. Prof. Schweizer ist extrem lieb und ist sehr beruhigend. Er hat mich zuerst gefragt, wie man ein Integral definiert. Ich habe mit Treppenfunktion angefangen, aber er wollte es noch allgemeinerer hören. Darauf bin ich nicht richtig gekommen, ich habe inzwischen nur erwähnt, f solle μ-integrierbar sein und dies definiert. Dann hat er gefragt, was die Eigenschaften eines Integrals sind. Zum Schluss ist er noch auf Produkttopologien gekommen und hat gefragt, wie Masse auf denen definiert sind.

24.08.2015, 10:30 Uhr, Valentin

Als Einstieg fragte er, ob mir die Hahnzerlegung etwas sage. Ich erklärte kurz, was eine Ladungsverteilung sei und schrieb dann den Satz hin. Eindeutigkeit? Ja, bis auf Nullmengen. Dann Beweisskizze. Ich begann ziemlich ausführlich, beschränkte mich beim zweiten Teil auf mündliche Bemerkungen. Anwendungen? Radon-Nikodym. Danach wollte er wissen, wie wir den Integralbegriff definiert haben.

Er fragt zu Beginn, ob man die Prüfung in Schweizer-, Hochdeutsch oder Englisch halten wolle; allgemein ist er ziemlich gut gelaunt und gibt aufmunternde Kommentare, wenn man sich mal unsicher ist.

24.08.2015, 09:15 Uhr, Aline

Ich kam erst 10 Minuten später dran als geplant. Er wollte erst mit Daniell-Stone anfangen. Als ich gefragt habe, ob wir mit etwas anderem anfangen können, wollte er Sachen vom Anfang wissen: Def. Mass, Def. Integral für f in E_plus und E_plus_*, Eigenschaften des Integrals. Dann kamen wir zu Konvergenzsätzen. Ich hab mit monotoner Konvergenz angefangen und musste das auch noch beweisen. Ich habe beim Satz eine Bedingung vergessen. Er hat mich nicht direkt darauf hingewiesen, mir ist es erst aufgefallen als ich sie im Beweis gebraucht habe. Wenn man grade nicht weiter weiss, gibt er keine Tipps, sondern wartet ab, ob man noch drauf kommt. Aber sonst ist er sehr nett.

24.08.2015, 08:15 Uhr, Max

Thema: \(L^p\) spaces. Unterscheidung mit \(\mathcal{L}^p\), Motivation der Äquivalenzrelation, welches Normaxiom passt sonst nicht. Fischer-Riesz erwähnt. Dann musste ich den skizzenhaft beweisen, zuerst Fall \(p = inf\), dann \(1 <= p < inf\) ebenso skizzenhaft. definition der dominierten, verallgemeinerung der dominierten konvergenz und monotonen konvergenz erwähnt. dann wollte er wissen, wenn $f >= 0$, und i$\int_{A} f d\mu$, was man dann folgern kann (=> wollte, dass man über eine Nullmenge integriert), zz, dass es Nullmenge ist (habe ich erst etwas verbockt, dann ist mit das mit dem epsilon im Beweis wieder eingefallen und konnte ich noch skizzenhaft fertig machen. Am Ende wollte er noch die Definition von Mass, Konvergenz im Mass, unterschiedliche Konvergenzbegriffe und deren implikationen angesprocehn (keine Beweise wegen Zeit), und dann noch erwähnt wieso stochastisch nicht $\mu$-fü impliziert (Bsp) und dann mit noch wieso $L^p$ konvergenz stochastische impliziert (Markov) erwähnt.

Insgesamt sehr entspannte Atmosphäre, leichte Prüfung. Schweizer ist freundlich, hilfsbereit und fair. Er fragt nicht sehr detailiert, mmn sehr oberflächlich.