Mass und Integral - Francesca Da Lio - 2016

Please sign with your name and the date on which you had your exam. If you use this wiki, contribute to it as well or terrible things will happen to you: like waking up in the morning and realizing that the only clean shirt is the one you got from the math-olympics.

Alexander, 30.8., 11:00 - 11:15

Zu erst wurde ich nach der Definiton von \(\mu\)-integrable gefragt. Dann wie upper und lower integral definiert sind, sowie den Integraldefinition für simple functions, sie wollte alle drei Schritte hören, also für 1) nicht negativ einfache Funktionen dann für 2) einfache Funktionen und 3) lower und upper. Dann fragte sie, was \(\mu\)-summable heisst. Dann sollte ich zeigen, dass dies impliziert, dass f a.e. finite ist.

Als nächste Frage wollte sie die Aussage von Vitali's Theorem mit Beweis. Da ich dort nicht weiterwusste, hat sie mir eine weiter Frage gestellt und zwar Beppo-Levi (MCT) aufschreiben und beweisen. Da war dann die Zeit vorbei und ich habe ihr die Idee nur noch mündlich genannt.

Ich denke es ist nützlich, dass man möglichst alles aufschreibt was man sagt, da sie sich das Zeug auch genau anschaut. An sich finde ich, dass sie keine angenehme Prüferin ist, da sie einen schmoren lässt, wenn man denn nicht weiter weiss und zumindest mir nicht so viele Hilfestellungen gegeben hat. Auch hat das Telefon mitten in der Prüfung geklingelt und sie ist auch noch rangegangen, was das soll weiss ich auch nicht.

Malte, 30.8., 12:30 - 12:45

Hat mich so ein bisschen an das Beispiel mit dem Kaktus erinnert. Wurde gefragt warum \( |f(x)| \leq ||f||_\infty \mu -a.e. \) ist, habe da ziemlich schnell gemerkt dass das minimalste Handwaving bereits nicht möglich ist. Hab mich dann da durch gekämpft, dann wollte sie wissen warum \( L^\infty \) Vollständig. Hab den Beweis gegeben, sie wollte dass ich richtig hinschreibe \(\forall \epsilon > 0 \exists k_0: k,l \geq k_0 ||f_k - f_l|| \leq \epsilon \), also keine Trivialitäten aus Analysis 1 vergessen. Warum denn \( \mu-a.e. x \in R f_k(x) \to f(x) \). Ja weil R halt vollständig. Ok.. Dann \( l \to \infty \) & so weiter.

Wieso liegt \( C^0 \) nicht dicht in \( L^\infty \). Hab n Bild gemalt als Beispiel, das hat nicht gereicht. Hab \(x^{-n} \) hingeschrieben. Das ist besser.

Was kannst du über verschiedene Konvergenzen sagen? Also das stärkste ist uniform convergence. Neh, mach ma nur die, die mit Mass zu tun haben. Ja da gibts so convergence in measure & convergence almost everywhere. Convergence almost everywhere is stärker gegeben \( \mu(\Omega) < \infty \). Für die andre Richtung \( \exists \Lambda \subset N \) Teilfolge? Wieso? Da hab ich die Mengen konstruiert wie im Struwe Skript, sie meinte ich beweise Egoroff. Meinte sie neh, lass sein. Was geht denn schief für \( \mu(\Omega) = \infty \). Hab versucht zu erklären wo im Beweis da was schief läuft, sie wollte aber nur n Gegenbeispiel, hab dann \( [-k,k]^c \) gegeben. Sie so zur Hilfsassitentin "that works actually". Jo, dann war schon fertig.

Alles im allem: Man muss halt die Beweise 1:1 aus ihrer Mitschrift kennen. Handwaving geht nicht. Wenn man was mündlich (wenn auch korrekt) zu erkären versucht akzeptiert sie das nicht. Mann muss es aufschreiben. Wenn sie etwas fragt erwartet sie genau eine Antwort. Geht man das ganze anders an versucht sie leider nicht zu gucken ob das auch funktioniert, sondern will einen auf ihren Weg leiten. Das ist leider einfach mega anstrengend.

Möglicherweise hatte sie einfach keinen Bock mehr. Schliesslich war es auch schon 1 Uhr und sie hatte anscheinend noch keine Mittagspause.

Joa bin froh isses rum, freue mich auf Algebra!

Moji, 30.8., 14:00 - 14:15

Wie haben zuerst mit der Definition von \(\mu\)-messbaren Funktionen angefangen und ich hab ihr die Definition mit den äquivalenten Aussagen gegeben; danach musste ich beweisen, dass das Produkt von zwei \(\mu\)-messbaren Funktionen wieder \(\mu\)-messbar ist. Sie wollte darauf folgend von mir den Beweis, dass eine nicht-negative \(\mu\)-messbare Funktion \(\mu\)-integrable ist. Dann hat sie mich noch gefragt, ob ich den Beweis, dass das Lebesgue-Mass Borel regulär ist, wobei ich nur die Aussage regulär hätte zeigen sollen; nachdem ich ihr die Definition von regulär gegeben hatte, merkte wir dass ich den Beweis nicht mehr im Kopf hatte und ich hatte noch circa 3min. deshalb hat sie mich noch kurz nach Lebesgue's convergence thm. gefragt mit einer Beweisskizze und mitten drin mussten wir dann wegen der Zeit abbrechen.

Im Grossen und Ganzen waren beide angenehme Prüfer, ihr müsst nur aufpassen, sie ist schnell verwirrt wenn ihr nicht genau so vorgeht, wie sie es in der Vorlesung getan hat ;) Ah und sie bittet euch darum alles aufzuschreiben, was ihr sagt!

Anna, 30.8., 15:00-15:15

Die Fragen bei mir waren zum Vitali set und dann der Beweis von Vitali, aber nur die schwierigere Richtung genau, die andere konnte ich mündlich kurz abhandeln. Zuletzt fragte sie mich noch wie man zeigen kann, dass eine \(\mu\)-summable Funktion schon "alleine" uniformly \(\mu\)-summable ist (Thm. 3.19). Im Vergleich zu den anderen hier hat sie nicht gewollt, dass ich alles aufschreibe, sondern einfach die wichtigsten Schritte.

Sie war eigentlich ganz nett, hat aber so gut wie nie geholfen, sondern nur zugeschaut. Beim einen Beweis habe ich manchmal vorgegriffen und dann, als es mir eingefallen ist, den Rest noch nachgeliefert; damit hatte sie keine Probleme. Man sollte nicht zu sehr ihre Reaktion abwarten, da sie meistens keine hat. Sie sah meistens etwas irritiert drein, aber ich glaube, dass macht sie einfach so, davon sollte man sich also nicht aus der Ruhe bringen lassen.

Paule, 30.8., 15:45-16:00

Allgemeines: Durfte eingangs erstmal 10 min warten. Vom Stil her ist Prof. Da Lio praktisch genau das Gegenteil von Nelson: sie fragt einigermassen random, was ihr gerade einfällt. Will, dass ihr alles was ihr sagt, aufschreibt und wenn möglich genau so wie es in der VL gemacht wurde. Sie hat mich nicht unterbrochen, sondern einfach machen lassen, daher habe ich öfters fragen müssen ob meine Konstruktion genug ist, oder ob ich mehr ins Detail soll.

Konkrete Fragen: Zuerst Definition Hausdorffmass. Achtung: das Mass ist das supremum wenn \(\delta \rightarrow 0\). Warum muss das überhaupt existieren? (Das \(\mathcal{H}_\delta^s\) ist in \(\delta\) decreasing). Dann: Definiere metric measure, beweise \(\mathcal{H}_\delta^s \) metric. Hier konnte ich die Mengen \(A\) und \(B\) malen, die cover \(\mathcal{A} \) und \(\mathcal{B} \) definieren, und danach grösstenteils mit Bilder malen zeigen, warum die mutually disjoint sind.

Dann wollte sie wissen, warum metric measures Borel-regular sind. Ich habe den Beweis so gemacht, wie wir's in der VL gezeigt haben - closed sets sind measurable. Hier war sie mit der Skizze zufrieden, ich habe die einzelnen Schritte angegeben aber nicht konkret die Rechnungen machen müssen.

Zuallerletzt wollte sie wissen, warum \(\mathcal{A} := \{A \subset X: A \, \text{finite or} \, A^c \, \text{finite} \} \) eine Algebra ist, dann warum es keine \(\sigma\)-Algebra ist.

David, 31.8., 09:30-09:45

Definition Algebra und \(\sigma\)-Algebra, und je ein Beispiel. Dann zeigen dass Menge der \(\mu\)-messbaren Mengen eine \(\sigma\)-Algebra ist, wobei ich nur den Teil mit der finite Union zeigen musste. Gegen Ende des Beweises hat sie dann abgebrochen und mich die Definition des \( L^\infty \)-Space gefragt. Dann dessen Vollständigkeit. Gegen Ende des Beweises war ich in Überzeit wo sie mich aber noch ein bisschen über die Konklusion nachdenken liess.

Lukas, 31.8., 10:00 - 10:15

What is the definition of a measurable set? Why are the measurable sets a \(\sigma\)-algebra? Wrote down the definition, started proving that they are an algebra. Got a little confused when proving that the measurable sets of are stable under union. Katharina suggests we move on to another question. Second question: If \(f\) is a measurable and non-negative function, how can we approximate it with an increasing sequence of simple functions? Write down that we want to show \( f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\chi_{A_k}(x)\), and define the \(A_k\). Then struggle to prove why they are in fact equal. She then decides to ask another question about convolution: How is it defined, and then, if \(f \in L^1\) and \(g \in L^p\), what can you say about the convolution product of \(f\) and \(g\)?

When I entered the room, Prof. Da Lio did not say hello, she waited for me to sit down and then, after thinking for a moment, asked the first question. During the exam, she did not say much, she just asked the questions. There is no conversation about the answers, but she might decide to just move on to another question.

Jonas, 31.8., 15:45 - 16:00

Allgemeines: Ich war ziemlich nervös bei der Prüfung und habe die Prüfung zuerst in Deutsch abgelegt, habe dann aber irgendwann auf Englisch gewechselt, was beides kein Problem war. Frau Professor Da Lio hat mich nur wenig unterbrochen und zum grösseren Teil einfach machen lassen.

Inhalt: Sie hat angefangen mich nach der Definition einer \( \mu \)- messbaren Funktion zu fragen und ich habe ihr die 6 Definitionen aus dem Struwe Skript hingehauen. Als nächstes wollte sie wissen, warum Produkt und Summe von \(\mu\) - messbaren Funktionen \(\mu\) - messbar sind. Auch da habe ich ihr die Konstruktionen mit der Summe und dem Quadrat gegeben und das Produkt darüber konstruiert. Als nächstes wollte sie sehen warum die endliche Vereinigung \(\mu\) - messbarer Mengen wieder \(\mu\) - messbar ist. Hier habe ich etwas gebraucht, aber sie hat mich wieder machen lassen und nur am Ende einmal gefragt, weswegen Gleichheit folgt, wenn ich doch gerade nur \(\geq\) gezeigt hab ( hab eingewandt, dass die zweite Eigenschaft des Masses aus dem \(\geq\) ein \(= \) macht). Als letztes wollte sie, dass ich Satz 3.19(Da Lio)/3.3.1(Struwe) zeige. Hab mich genau an den Widerspruchsbeweis aus dem Struwe Skript gehalten und durfte am Ende, weil die Zeit knapp wurde, die Begründung, warum ein Widerspruch vorliegt, mündlich vortragen und musste sie nicht aufschreiben. Als ich im Beweis Mass und Limes vertauscht habe, hat sie kurz nachgefragt, warum ich das darf, ich konnte zum Glück aber anbringen, dass \(\mu (B_1 ) < \infty \) gilt. Sonst hat sie mich hier nicht unterbrochen.

Abschliessend: Sie hat mich sehr angenehm abgeprüft und das, obwohl ich sehr nervös war.

Aline, 01.09., 9:45 - 10:00

Vor mir hatte sich etwas verschoben und deshalb kam ich schon ein paar Minuten früher dran. Zuerst ging es um integrable and summable functions. Sie wollte die Definitionen und den Beweis von Theorem 3.8. Danach meinte sie zu Katharina, dass sie eine Frage stellen soll. Sie hat mich dann gefragt, ob ich Ungleichungen in \( L^p\) kenne. Ich habe Hölder und Minkowski genannt. Dann sollte ich eins beweisen. Habe mich für Hölder entschieden. Dann war die Zeit auch schon um.