Mass und Integral - 2019

Josua, 19.08.2019 9:30-9:45

Sehr entspannte Atmosphäre, sehr angenehme Prüfung. Prof. Teichmann gibt einem gleich zwei Theoreme zur Auswahl. Und bis jetzt scheint es mir wirklich so, als ob diese rein zufällig gewählt werden. (Ich hatte I.18 Factorisation Thm und Fubini) Zeitdruck ist bei der Entscheidung und Vorbereitungszeit (Notizen) nicht vorhanden. Ich glaub weder der Assistent noch der Prof. stoppen die Zeit. Das Skript liegt sehr unordentlich (lose Blätter) vor einem. Das heisst Definitionen oder andere Dinge, die nicht direkt im Theorem erwähnt sind könnt ihr nur schlecht nachschauen. Andererseits liegt - wie auch von den anderen schon erwähnt - das Blatt mit dem Theorem ständig vor einem und man könnte ziemlich sicher auch direkt dort nachschauen.

Zur Prüfung selbst: Ich wählte I.18

• Prof. Teichmann: "Um was geht es bei diesem Theorem?"
• Daraufhin habe ich die Aussage erläutert.
• Prof. Teichmann: "Warum ist dies ein bemerkenswertes Ergebnis?"
• Ich, gedacht: "Ähh bemerkenswert vlt, aber haben wir das überhaupt in der Vorlesung gemacht?" Ich, gesprochen:"Ähhhhh"

Daraufhin hat er gleich was hinterhergeworfen, in die Richtung:"Wie geht der Beweis?"

• Ich habe dann den Beweis Schritt für Schritt erklärt, ohne Notizen zu machen. Er hat auch nicht nach Notizen gefragt.

Währenddessen stellt er noch Fragen bei einzelnen Schritten:

• Prof.Teichmann, auf meinen Hinweis auf die Charakterisierung messbarer Funktionen als Limes von allgemeinen Treppenfkt:"Wie ist die Konvergenz der Treppenfunktionen?"
• Ich:"Allgemein punktweise, falls f beschränkt, sogar gleichmässig bei geeigneter Wahl."
• Prof. Teichmann:"Warum wählen wir den Limsup im Beweis?"

usw.

• Er fragt eben detailliert nach den Schritten und man schaut dann mit ihm auch ins Skript selbst rein. Also ich glaube Verständnis ist in diesem Fall um einiges vorteilhafter als 100% den Beweis am Start zu haben, aber dafür Löcher im Verständnis von den einzelnen Schritten.

Nicht relevant für die Prüfung, aber zum verdeutlichen, dass der Prüfer wirklich sehr angenehm ist und ich denke auch Spass daran hat:

Nachdem ich anfang der Prüfung meinte, dass das Theorem jetzt nicht soviel hergibt, hat er hat mir dann danach noch 5 (halt echt mindestens 5) Minuten erklärt, warum dieses Theorem nützlich ist. (Meine Antwort auf diese Frage - "Ja ist sicher urgut für Anwendungen." - war wahrscheinlich zu allgemein gehalten (oha?!))

Marco, 19.08.2019 11:15-11:30

20 min Verzögerung. 3 min Vorbereitungszeit, vielleicht auch etwas mehr, die Seiten schlägt er davor schon im Skript auf. Man durfte aber das Skript während der Prüfung einfach verwenden.

Fragen:

• 14. Beispiel I.3.9.
• 59. IV.1.11

Ich habe 14. gewählt. Er wollte die Definition der Cantor Menge und deren Eigenschaften wissen (was sie speziell macht ist, dass sie überabzählbar ist). Danach sollte ich mehr über die devils staircase erzählen. War nicht so ganz sicher, wie die jetzt diffbar, stetig,... war. Am Ende fragte er noch warum das Cantor Mass nicht abs. stetig bezüglich dem Lebesgue Mass wäre, ich vermutete dass jedes solche Mass dann nicht Mass null ergäbe für die Cantor Menge, erwähnte noch die Aussage von Radon Nikodym. Er meinte aber am Ende "positive Note". (Ich fragte dann noch: Das heisst genügend ^^)

Wayne, 19.08.2019 13:30-13:45

Es gab eine Verspätung von ungf. 15 Minuten.

Prof. Teichmann und sein Assistent begrüssen dich in seinem Büro. Die Stimmung ist sehr entspannt. Er gibt dir Papier und Stifte. Man kann auswählen, ob man die Prüfung auf Englisch oder Deutsch machen will. Teichmann clickt 2 mal auf seinem PC und wählt 2 zahlen zwischen 1 und 63. Danach sagt er, welche Theoremen ausgewählt geworden sind.

Fragen:

• 46. Theorem II.6.8
• 47. Theorem II.6.11

Ich habe Frage 46. ausgewählt, man hat 3 Minuten Vorbereitungszeit, in dem man das Skriptum anschaut, die Stichpunkten vom ausgewählten Beweis aufschreibt und die Definitionen kurz überfliegt. Danach trägt man den Beweis vor, Teichmann gibt dir Hinweise und lässt dich sogar das Skriptum anschauen falls du wirklich stecken bleibst. Nicht wie Sisto aber lässt er dich kaum Zeit, um zu überlegen, sondern unterbricht er dich, falls du zu lang daran bleibst, wahrscheinlich wegen Zeitgründen.

Er hat mich danach noch gefragt, falls \Omega eine endliche Menge ist (endliche Kardinalität), wie dann die signierten Masse da drinnen aussahen.

Am Ende hat er mir sogar Feedback gegeben, wie gut die Prüfung war... "Langsam und holprig, aber man hat gesehen, dass Sie den Stoff verstanden haben und sich mit dem Fach bemüht haben... war keine schlechte Prüfung ;)"

Fabian, 19.08.2019 14:30-14:45

Fragen:

• 9. (Carathéodory) Konstruktion eines äusseren Masses aus einem Prämass
• 38. Für endliche Massräume und \(1 \leq p \leq q \leq \infty \) gilt \( L^q \subset L^p \).

Ich habe das zweite Thema gewählt, und danach gab er mir drei Minuten Zeit, um mich vorzubereiten (die Entscheidungsfindung für ein Thema ist also ausserhalb der drei Minuten). Danach setzte sich Prof Teichmann neben mich und begann die Prüfung:

• T: Definieren Sie die Räume \(L^p \)
• F: Wir können für \(p \geq 1 \) eine p-Norm definieren: ... \(L^p \) sind nun jene Funktionen mit endlicher p-Norm.
• T: Warum ist nun \( L^q \subset L^p \) für endliche Masse?
• F: Dies folgt aus der Hölder-Ungleichung: ...
• T: Gilt diese Inklusion auch für \(p = \infty\)?
• F: Ja, Hölder gilt auch für \(p = \infty\).
• T: Nimm nun eine \(L^\infty\)-Funktion und betrachte deren p-Norm. Was passiert damit, wenn p gegen unendlich strebt?

Das war eine Serieaufgabe: Es gilt \( \lim_{p \rightarrow \infty} ||f||_p = ||f||_\infty \). Daraufhin habe ich versucht diese Identität zu beweisen, habe aber gleich am Anfang einen Fehler gemacht, auf den mich Prof Teichmann dann hingewiesen hat. Im zweiten Anlauf konnte ich eine Richtung der Ungleichung beweisen und hatte für die andere die korrekte Idee. Prof Teichmann konkretisierte die Idee und half dann bei einer Abschätzung. Die Zeit war noch nicht ganz vorbei, aber er liess mich bereits gehen.

Fazit: Schaut euch die Serieaufgaben nochmals an.

Anton, 19.08.2019 17:00-17:15

Meine Fragen waren 20 und 23. Ich habe mich für Lemma I.2.6 (mon. conv) entschieden. Man hat an sich so viel Zeit wie man will für die Notizen, keiner stopt die Zeit. Bei mir waren die aber auch nutzlos.

• T: Was können sie mir zu diesem Lemma sagen?
• I: (habe an diese Frage genutzt um so viel wissen wie möglich loszuwerden, bis ich nach 2-3 min unterbrochen wurde.) Irgendwann meinte ich das sei die einfachste Konvergenzaussage zum Integral. Daraufhin:
• T: Warum ist dieses Lemma nicht selbstverständlich?
• I:??
• T: Sie meinten doch das sei die einfachste. Ich meine fn und f sind allg. Treppenfunktionen...

Dann haben wir ein bisschen rumdiskutiert (ich habe versucht auf die allgemeine Defintion von Maßen einzugehen), bis ich gesagt habe dass ich eigentlich nicht weiß worauf er hinaus will. Er hat dann ein Bild von einer Treppen Funktion an die Tafel gemalt. Ich habe bist jetzt noch nicht verstanden was er von mir wollte. Ich habe dann gesagt dass die Konvergenz auch durch Verfeinerung der charakteristischen Funktionen stattfindet und dann hat er gegrinst und weiter gemacht.

• T: Fassen sie den Beweis zusammen
• I: Das Skript lag vor uns. Ich hab einfach die grundlegenden Schritte erklärt.
• T: Was wenn das Maß endlich ist?
• I: Die eine Fallunterscheidung präziser erklärt (das Skript lag die ganze Zeit vor uns; wir haben beide die ganze Zeit darauf geguckt und damit gearbeitet. Ich habe meine Notizen nicht gebraucht.Es ging wirklich fast ausschließlich darum Schritte genau zu erklären).Dann wollte er etwas zum Thm I.2.6 wissen.
• T: Was ist die genaue Aussage? Wieso können sie Thm I.2.6 benutzen?
• I: wegen sigma-add.

Dann war die Zeit vorbei.

Teichmann hat mir ein Feedback gegeben. "Ich sehe sie haben gelernt" Er fand es auch sehr lustig dass ich am Anfang so verwirrt war.

Tobias, 22.08.2019 08:15-08:30

Zur Auswahl standen 31. und 57. War nicht gerade meine Wunschwahl. Ich wählte 31 (Bemerkung 3.11) und liess mich überraschen.

Er fragte zuerst über stochastische Konvergenz, wie das definiert ist und ob es stärker oder schwächer als f.ü.-Konvergenz sei. Beweisen musste ich es nicht, das Gegenbeispiel habe ich kurz erklärt mit der Folge von den Intervallen die sich über [0,1] verschieben und in L1 konvergieren aber nicht f.ü..

Dann kamen wir zum eigentlichen Thema. Er wollte wissen ob stochastische Konvergenz metrisierbar sei. Ich zeigte aufs Skript und sagte Ja.

Er wollte dann, dass ich die Äquivalenz beweise für das Wahrscheinlichkeitsmass und die Metrik d'. Die erste Richtung, dass aus stochastischer Konvergenz die Konvergenz bzgl. d' folgt konnte ich mit einer Zerlegung von Omega zeigen. Die andere Richtung habe ich nicht geschafft, er hat es mir kurz hingeschrieben, es war Markov mit h(x)=x.

Bemerkung am Schluss: Gute Note.

Christian, 22.08.2019 08:45-09:00

Ich hatte 30 (stochastische konvergenz iff jede teilfolge hat konv. teilfolge mü-a.e.) und 53 zur Auswahl. Als ich mich für 30 entschied, meinte er nur humorvoll, dass ich mich für das Schwierige entschieden hab. Er gab auch hier wieder einige Minuten Vorbereitungszeit. Danach sollte ich ohne Skript den Beweis wiedergeben. Bei kleinen Ungenauigkeiten gab er Hinweise und meinte abschliessend, als ich einen Fehler beim Negieren der Aussage machte, dass er es schade findet, dass die Negation nicht mehr so gründlich beigebracht wird^^. Er ist wirklich sehr beruhigend, kommt einem (eben wie beim negieren) schnell zur Hilfe. Schlussendlich war er trotz den erwähntem Fehler zufrieden und gab ein positives Feedback.

Nico, 22.08.2019 09:45-10:00

Es gab eine Verzögerung von circa 10 Minuten. Zuvor sass ich im Raum vor seinem Büro und konnte die Prüfung vor meiner mithöre, da die Türe zu seinem Büro offen stand.

Fragen: (Skript M.Schweizer, Version 2017)

• 6. Proposition I.2.17
• 24. Lemma II.2.17 and Lemma II.2.21

Prof Teichmann und sein Assistent haben mich begrüsst. Da es eine Verzögerung gab, war ich nicht ganz sicher, ob sie mich als die richtige Person einschätzten, als ich meinen Namen auf dem Bewertungsbogen sah, war ein kleiner Teil der Nervosität weg. Er sagte mir, welche beiden Fragen er zufällig generiert hatte. Ich wählte den Punkt 24 aus. Danach konnte man die 3 Minuten Vorbereitungszeit nutzen.

Ich begann damit, dass ich die Aussage des Satzes wiedergab und dann mit dem Beweis startete. Im Beweis kann man die Abschätzung \( n I_{ \{ f = \infty \} } \leq |f | \) machen, welche man dann auch braucht. Ich habe diese Abschätzung nicht korrekt notiert, \( \int n I_{ \{ f = \infty \} } d\mu \leq \int n f d\mu \) wobei \( \int n I_{ \{ f = \infty \} } d\mu \leq \int f d\mu \) stehen sollte, ohne das \( n \). Er machte mich darauf aufmerksam, dass mein notierter Beweisschritt nicht funktioniert. Als ich mich korrigiert habe, war er zufrieden und fragte mich, ob ich den Satz von Borel-Cantelli kenne. Ich sagte, dass ich diesen einmal nachgeschaut habe, als er in einer alten Wahrscheinlichkeitsprüfungen vorgekommen ist. Wir haben diesen Satz zusammen erarbeitet, wobei er mir ein wenig helfen musste. Danach ging es zum zweiten Lemma, wobei er nur die \( \Rightarrow \) - Richtung haben wollte. Als ich 2-3 Aussagen gemacht habe, führte er den Beweis zu Ende und sage, dass die Prüfung zu Ende sei.

Er gab mir die Rückmeldung, dass ich schneller sein muss und die Flüchtigkeitsfehler minimieren sollte. Es wird eine positive Note sein, da er das Gefühl hat, ich habe das Thema verstanden.

Silvio, 22.08.2019 10:15-10:30

I had to choose between question 2 (which he described as "discussion about set functions") and question 52 (Theorem III.2.6). Since question one lent itself more to Teichmann's freestyle questions I chose 52.

After the preparation, I had to give an overview of the proof and afterwards he asked me to go into the details of the second step. Subsequently, he started talking more generally about transition kernels, properties and applications. This led us talking about Ionescu-Tulcea and Daniell-Kolmogorov. In the last minute, he wanted me to think about whether it was possible to apply Daniell-Stone theorem to get a product measure on the space.

Lukas, 22.08.2019 10:30-10:45

Mir wurden die Fragen nach der Monotonen Konvergenz und Radon-Nikodym gestellt. Ich habe mich für Radon-Nikodym entschieden. Dies führte auch sofort zum ersten Pluspunkt, sprich Prof. Teichmann war sehr erfreut.

Die Prüfung fand mit offenem Skript statt, auf welches man sich problemlos stützen kann. Kurzer Ablauf:

• Angabe der beiden Themen und Auswahl
• 3 Minuten Vorbereitungszeit
• Frage nach allgemeiner Bedeutung des Satzes
• Beweis des Satzes (beziehungsweise der ersten Hälfte)

22.08.2019 12:00-12:15

Professor Teichmann begrüsst einen und generiert zufällig 2 Fragen. Man hat dann genug Zeit sich für eine zu entscheiden und diese vorzubereiten. Bei mir wurde keine Zeit gestoppt und ich habe glaube ich eher 4-5 Minuten gehabt. Die Notizen habe ich dann nicht mehr wirklich gebraucht, da das Skript vor uns lag und es einfacher war die paar Konstruktionen im Skript zu zeigen. Generell sollte man mehr darauf achten alle Schritte erklären zu können, als diese auswendig zu lernen. Ich habe dann den Beweis gründlich erklärt und versucht einzelne Schritte zu motivieren. Er hat daraufhin nicht wirklich oft nachgefragt wieso etwas genau geht. Nachdem ich fertig war hat er weitere Fragen gestellt, in Richtung wieso sind diese Bedingungen wichtig etc. Als ich kurz ins Stocken geriet hat er auch gerade weitergeholfen. Ich habe dann noch erzählt wie man weitere Theoreme auf dem gezeigten aufbauend zeigen kann bis er mich unterbrochen hat, dass das so passt und ich gehen kann. Im Allgemeinen ist es eine sehr angehme Atmosphäre und gleicht eher einem Gespräch als einer Prüfung....

Jingi, 22.08.2019 13:30-13:45

Ich hatte zur Wahl Radon-Nikodym und 48. (Isometrie Lp)

Ich habe Radon-Nikodym gewählt und bin somit - nach Prof. Teichmann - die zweite mutige Person von heute.

Nach 1-2 min Vorbereitung habe ich gefragt, ob ich mich auch für das 2.Teil vorbereiten soll. Teichmann meinte: Wir schauen mal- dann hat er die Prüfung angefangen!... Zum Glück könnte ich den Beweis wiedergeben und auf seine Nachfragen beantworten (bis auf den Teil, wo man o.B.d.A annehmen kann, dass nu sigma-endlich ist- dort hat er mir erklärt, obwohl ich es eigentlich könnte^^). Nach 10 min hat er mich schon gehen gelassen.

Er wollte nur sehen, dass man es verstanden hat und deshalb ist also sehr wichtig die Beweisschritte zu verstehen anstatt nur sie auswendig zu lernen. Die Prüfung sei, laut Teichmann, kein gemeiner Test, sondern eine entspannte akademische Diskussion.

Viola, 22.08.2019 14:15-14:30

Ich habe die Fragen Fatou’s Lemma und Daniell-Stone zur Auswahl bekommen. Ich habe Teichmann gesagt ich müsse mich für Fatou entscheiden, da obwohl ich Daniell-Stone mag, ich einzelne Details zum Teil sehr schwierig finde.

Zuerst fragte er mich nach der Aussage. Dann fragte er nach einem Beispiel, wann die Ungleichung strikt sei, ich fing an zu überlegen aber nach ca. 30 Sekunden hat er die Frage selbst beantwortet.

Dann besprachen wir den Beweis. Bei einzelnen Teilen fragte er genauer nach und ich erklärte es ihm. Nachdem ich fertig war sagte er erstmal nichts. Woraufhin ich anfing weitere Dinge zu sagen, die ich über Fatou wusste, z.B ein Gegenbeispiel für falls die Funktionenfolge nicht beschränkt ist und dass die Aussage auch gilt wenn wir die untere Schranke nur mu-f.ü. haben.

Nach einer erneuten kurzen Pause wollte er noch über die Verallgemeinerung reden, wenn man die untere Schranke durch gleichmäßige Integrierbarkeit ersetzt. Ich habe kurz erklärt, dass man dann aufpassen muss mit der Wohldefiniertheit der LHS woraufhin er sagte er hätte mir das Lemma “ja nur einmal zeigen wollen”...

23.08.2019 8:45-9:00

Auswahl zwischen Fischer-Riesz und Daniell-Stone Part 1. Hatte zeit um zu wählen, konnte dabei die Beweise anschauen.

Habe das 2. ausgewählt: hatte Zeit um den Beweis zu lesen und um Notizen zu machen. Aussage von Daniell-Stone Beweis, wobei er gefragt hat warum die einzelnen Schritte genau gelten (zeige, dass \( J(g) \leq sup_{n \in \mathbb{N}} J(f_n)\) und \(sup_{n \in \mathbb{N}} J(f_n) = sup_{n \in \mathbb{N}} J(g_n)\) diesen Punkt konnte ich nicht direkt, dann hat er mir gesagt, wie man es macht)

Dann hat er am Ende noch kurz die Idee von den anderen Teilen vom Beweis von Daniell-Stone kurz erläutert. Am Ende hat er positives Feedback gegeben.

Atmosphäre ist sehr entspannt, Prof. Teichmann stresst dich nicht bei der Auswahl, oder bei der Vorbereitung :)

Philipp, 23.08.2019 10:00 - 10:15

Ich hatte die Bemerkungen zur gleichmässigen Integrabilität und die Proposition 6.8 (Signierte Masse bilden einen Banachraum) zur Auswahl, wobei ich mich für Letzteres entschied, obwohl Teichmann meinte, er würde gerne die erste Frage besprechen.

Ich konnte dann in Ruhe die Proposition und den Beweis lesen, niemand hat sich um die Zeit gekümmert. Irgendwann fragte mich Teichmann, ob wir beginnen können, und er fragte mich nach der Aussage des Satzes.

1. Teil: \( (\mathcal{R}(\Omega), || \cdot ||_{\mathrm{v}}) \) ist ein normierter Raum

Hier habe ich kurz argumentiert, warum die signierten Masse einen Vektorraum bilden. Dann bin ich auf den Beweis der Dreiecksungleichung mit der Supremumsdarstellung der Totalvariationsnorm eingegangen. Teichmann fragte mich dann, ob ich die Dreiecksungleichung nicht auch etwas eleganter zeigen könne. Ich musste einen Moment überlegen und bin darauf gekommen, dass wir wie im zweiten Teil des Beweises die Isometrie aus Radon-Nikodym verwenden können. Das hat dann auch einwandfrei funktioniert. Kommentar von Teichmann: "Sehr cool."

2. Teil: \( (\mathcal{R}(\Omega), || \cdot ||_{\mathrm{v}}) \) ist vollständig.

Hier habe ich einfach die einzelnen Schritte im Beweis erklärt, was nach obiger Aufgabe gut ging, da eigentlich alles schon vorbereitet war. Teichmann war zufrieden mit meinen Erläuterungen und fragte mich dann, ob ich argumentieren könne, warum L^1 vollständig ist. Ich war kurz verwirrt, weil es sich so angehört hat als wolle er ein intuitives Argument (naja \(L^p\)-Räume und Intuition...). Ich habe dann zuerst kurz die Idee des Beweises von Fischer-Riesz wiedergegeben und angemerkt, dass sich dieser im Fall p = 1 stark vereinfacht. Dann ging er noch auf die Details ein, also die Konstruktion der konvergenten Teilfolge einer Cauchyfolge.

Dann war die Prüfung zu Ende und er fragte mich noch, ob mir die Vorlesung gefallen habe und ob ich Mathestudent bin (WTF? Sorry, studiere eigentlich Biologie und bin spontan in eine Massprüfung gestolpert...).

Insgesamt war die Prüfung sehr entspannt und angenehm, obwohl ich zu Beginn sehr nervös war.

Viera, 23.08.2019 14:00-14:15

Ich hatte zur Wahl 32 (Integrabilität) und 55 (Kompakte Klassen). Ich habe mich für 55 entschieden. Die 3 min waren genug Zeit, um den Beweis nochmal anzuschauen und ein paar Notizen zu nehmen. Er wollte zuerst wissen, was die Definition einer kompakten Klasse ist. Danach haben wir den Beweis zusammen angeschaut und ich habe die jeweiligen Schritte erklärt. Zwischendurch wollte er noch wissen, was dieses Tychonoff-Argument sei, und mit seiner Hilfe konnte ich dies dann erklären. Zum Schluss wollte er noch wissen, wo man kompakte Klassen brauchen kann. Mit dem Beispiel Daniell-Kolmogorov als eine Anwendung war er sehr zufrieden.

Während der ganzen Prüfung liegt das Skript vor einem. Ich habe eigentlich nichts aufgeschrieben, da er ein Gespräch führen wollte.

Joel, 23.08.2019, 13:00 - 13:15

Ich komme herein, der Assistent sitzt am Tisch und Professor Teichmann am PC. Er hatte die Themen (27): DCT und (38): Proposition über \( L^p \) - Räume, gewählt. Ich entschied mich für DCT. Danach hatte ich drei Minuten Zeit, den Beweis zu lesen. Der Assistent und Prof. Teichmann waren beide am Handy während dieses Zeit.

• T: Wofür brauchen wir DCT?
• I: Es ist eine weitere Bedingung, wann wir Integral und Limes vertauschen dürfen.
• T: Richtig, eine schwächere.
• T: Wie geht der Beweis?
• I: (Der Beweis ist nur eine Zeile) Erkläre die Zeile, wobei ich es noch ein bisschen ausführlicher auf ein Blatt schreibe und jede Ungleichheit erkläre.
• T: Gut, angenommen, wir haben \( \mu \)-stochastische Konvergenz. Was braucht es noch für "DCT"?
• I: Uniforme \( \mu \)-integrabilität.
• T: Richtig, schreiben sie die Definition auf.
• I: Beginne zuerst falsch, schreibe aber dann die richtige Definition hin.
• T: Genau, diese Bedingung ersetzt uns die obere Schranke des DCT.
• T: Betrachten wir das Beispiel: lim \(I(\frac{|f-f_n|}{1+|f-f_n|}) \). Darf hier DCT angewendet werden?
• I: (überrascht) Eeeehm, diese Funktion ist monoton fallend... (Das ist falsch!)
• T: (Merkt bald, dass ich nicht weiss, worauf er hinaus will.) Diese Funktion ist beschränkt durch Eins, also dürfen wir hier DCT anwenden.
• T: Gut die Zeit ist vorbei. Fazit: Die Theorie haben sie verstanden, bei der Anwendung hapert es ein bisschen.

Mit der leichten Verspätung ging die Prüfung nur bis 13:13. Das hat bestimmt damit zu tun, das Prof. Teichmann in die Mittagspause wollte. Generell sehr entspannte Atmosphäre.