Functional Analysis II - 2020

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Tobias, 20.08., 13:30

Prüfungssprache: Da Francesco nicht so gut deutsch spricht, haben wir die Prüfung auf Englisch gemacht. Text unten also so ungefähr übersetzt. Nummern: Alle Angaben beziehen sich auf das 2020 Skript.

Struwe (S): Wir haben nebst der klassischen Differenzierbarkeit auch noch andere Formen von Differenzierbarkeit angeschaut.

Ich (I): Beginne mit \(u:\Omega \to \mathbb R\) für \(\Omega \subseteq \mathbb R^n\) und führe gleich den Sobolevraum \(W^{1,p}\) ein.

(S): Gut das ist jetzt bereits der Sobolevraum. Was hat uns das gebracht? (Echt nice, so konnte ich ziemlich genau lenken wohin es gehen soll.)

Ich schreibe gleich mal die schwache Lösung (7.1.3) hin. Ich merke dann, dass ich vielleicht mit der Problemstellung anfangen soll. Schreibe das DP hin und sage dass wir dazu diese schwache Lösung bekommen. Das wollte er dann genauer sehen, wir gingen die Definition von \(H^1_0\) durch, besprechen kurz die Poincaré Ungleichung, Normäquivalenz etc etc wie im anderen Protokoll.

Er fragt ob die schwache Lösung auch eine richtige Lösung (i.e \(C^2\)) ist. Ich beantworte zuerst die Frage für \(n=1\) ausführlich (mit Randbedingungen). Danach wollte er auch die Regularität der schwachen Lösung in höheren Dimensionen sehen. Ich schreibe den Soboleveinbettungssatz hin (der Teil mit \(kp>n\) und \(k-n/p \notin \mathbb N\)). Er wollte dann, dass ich explizit ausrechne, wie gross \(k\) sein soll, damit ich \(C^2\) habe (abhängig von \(n\), also Korollar 9.1.1).

Daraufhin meinte er, dass dies schnell recht hoch werden kann für höhere Dimension, was können wir dagegen machen.

(I):(R.I.P.) Wir können Regularitätstheorie verwenden. Ich schreibe darauf hin Satz 9.1.1 hin mit falscher Annahme an den Rand \(\Omega \in C^k\).

(S): Korrigiert mich: Sogar \(\Omega\in C^{k+2}\). Wie sind wir vorgegangen?

(I): Zuerst haben wir das Innere von \(\Omega\) betrachtet. (Schreibe Satz 9.1.2 hin)

Er korrigiert mich etliche Male, da ich die Versionen vom 2020 Skript hinschreibe und im 2014 Skript die Abschätzungen leicht anders sind.

(S): Können Sie das beweisen?

Da kam ich total ins Schwimmen. Ich wusste nur noch das wir nach dem "Abschneiden" wegen dem kompakten Support glätten können.

(S): Erfüllt die abgeschnittene Funktionen \(v\) auch eine Gleichung?

Ich schreibe GL (9.2.2) hin. Sein Wecker läutet (endlich).

Ich erklärte dann noch, dass \(g\in L^2(\Omega)\) und dass wir nun (irgendwie) induktiv vorgangen sind und wir nun Faltung verwenden können. Er schien damit zufrieden zu sein.