Algebra - Richard Pink - 2016

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David, 29.08., 08:00-08:30

Zu Beginn durfte ich wählen zwischen Ringen, Körpern und Gruppen. Ich war unentschlossen, also hat er das Thema gewählt.

Symmetrische Polynome: Definition, mehrere Beispiele, Aussage des Hauptsatzes für symm. Poly., Def. Elementarsympoly, Anwendungsbeispiel des HS, Beispiel der Anwendung des HS für Diskriminante, ausserdem hat er mich hingewiesen dass die Isomorphie im HS eindeutig ist. Weiter: Konstruktion Diskriminante (hab ihm die Sylvmatrix und Resultante gezeigt), dann hat er mich noch gefragt wie man auf den (-1)^n*(n-1)/2 Faktor kommt (keine Ahnung), eine Eigenschaft der Resultante (teilerfremdheit der Polynome).

Dann: Wann kann man von Teilerfremdheit reden? Hab dann über den ggT in faktoriellen Ringen und in HIR geschwafelt, er wollte aber wissen wie man Teilerfremdheit mithilfe Ideale zeigt (bin mir nicht sicher aber ich glaub er meint damit dass die Summe der erzeugten Ideal der ganze Ring sind. Achtung, nicht dasselbe wie das Lemma im Chines. Restsatzbeweis, weil das funktioniert nur in HIR).

Weiter: Was ist eine auflösbare Gruppe? Beispiel? Gegenbeispiel? Hab ihm D4 und S5 gesagt, er wollte wissen wieso S5 nur A5 und 1 als Normalteiler hat, das konnte ich ihm aber nicht sagen. Dann Ordnung A5, und eine spezielle Eigenschaft: Wieso ist es die kleinste einfache nichtabelsche Gruppe bzw nichtauflösbar? Oder besser gesagt, wieso sind Gruppen kleinerer Ordnung auflösbar? Hab ihm gesagt dass wirs mit p-Sylow gezeigt haben. Def p-sylow, Aussage des Satzes. Er hat mich dann beim 4.ten Punkt unterbrochen da ich's gut konnte.

Def: Separable Körpererweiterung, ein Gegenbsp (Fp(X1^p,X2^p)/F(X1,X2)

Als letztes schrieb er mir das folgende Polynom hin: X^5-2*X-1 und fragte mich was ich dazu sagen konnte. Hab ihn dann gefragt in welchem Ring (Q), dann hab ich mal behauptet dass es irreduzibel ist und es in Z/2Z betrachtet. Hab dann von Eisenstein geredet, er hat mich die Aussage von Eisenstein gefragt, und weshalb man Eisenstein nicht in einem finiten Körper anwenden kann (da Körper keine Primelemente besitzen, hab ich aber verpeilt), und dann hat er mir noch einige Sachen erklärt, die mir über den Kopf gingen. Bei diesem Polynom war meine Hirnleistung fraglich. Ausserdem haben wir zu meinem Leidwesen viel zu viel Zeit damit verbracht, die Mysterien dieses Polynoms zu ergründen.

Er war sehr freundlich und hat sehr viel erklärt, auch Dinge die jetzt nicht direkt mit dem Gefragten zu tun hatten. Man konnte reden und/oder schreiben, je nachdem was schneller geht. Zwei Tipps: -Wenn er euch am Anfang wählen lässt, wählt unbedingt, sodass ihr nicht wie ich bei den Symmetrischen Poly/Res/Disk landet. -Ihr könnt ein kleines bisschen die Richtung bestimmen, also versucht so zu ntworten, dass ihr für mögliche Folgefragen bereit sind.

Judith 29.08., 13:30-14:00

Er hat mich aussuchen lassen, ob ich mit Ringen, Gruppen oder Körpern anfangen will. Ich habe mich für Ringe entschieden. Er hat zeurst nach der Definition von einem Faktorring gefragt, und dann was wir, zum Beispiel, für Faktorringe gezeigt hatten. Danach kamen Hauptidealringe. Er hat zuerst nach der Definition gefragt, dann nach einem Beispiel, und dann nach Eigenschaften, die wir für Hauptidealringe kennen. Als Nächstes hat er die Sylowsätze abgefragt. Dann hat er nach den Isomorphieklassen der Ordnung 8 gefragt. Danach hat er nach der Definition einer Galoiserweiterung gefragt, dann nach einem Beispiel. Und dann hat er noch gefragt, ob es eine Galoiserweiterung der Ordnung 3 gibt.

eleni 29.08., 08:30-09:00

Pink war ganz nett, ich dürfte auch auswählen mit was ich beginnen will. Ich habe Gruppen ausgewählt aber bis am ende hatte ich schon alles gehabt also noch Ringen und Körpern. ich habe eine Gruppe der Ordnung 98 bekommen und müsste sagen was ich darüber sagen kann. dann noch die sylowsätze, dann noch def von subnormalreihe, dann sind wir zur Ringen gegangen , was ein faktorring ist und wohldefiniertheit, , dann primideal und bsp, Nacher zur Körper was algebraisch, normal , separabel ist, dann hat er noch gefragt ob ich mich errinere den beweis dass jeder Körper eine alg Abscluss hat. und denn noch den Hauptsatz der Galloistheorie.

Andreas 29.08., 18:45-19:10

Nach der Legikontrolle hat Prof. Pink (P) sich zuerst für die Verspätung entschuldigt (Termin war um 18:00), danach durfte ich (I) wählen, womit wir anfangen. Habe mich für Gruppen entschieden.

P: Was ist eine einfache Gruppe?

I: Nenne die Definition.

P: Was ist ein Normalteiler?

I: Nehme die Definition gH = Hg für alle Gruppenelemente g.

P: Warum ist das so definiert?

I: Damit G/N eine Gruppenstruktur hat.

Damit war er nicht zufrieden, nach etwas hin und her ist mir eingefallen, dass wir in ner Serie gezeigt haben, dass man auf beliebigen Mengen eine Gruppenstruktur definieren kann. Dann habe ich nachgeschoben, dass die Projektionsabbildung g -> gH ein Homomorphismus sein soll. Das wollte er ursprünglich hören und war zufrieden, ich konnte schnell noch "Homomorphismen induzieren Gruppenstruktur" unterbringen.

P: Kennen Sie ein Beispiel einer unendlichen einfachen Gruppe?

Ich denke laut über Z nach, verbessere mich aber gleich selbst und schreibe hin, dass Z keine Kompositionsreihe besitzt. Mir fiel aber nichts besseres ein, er hat mir dann PSL(2,K) genannt. Habe "falls K mehr als 3 Elemente hat" ergänzt und vielleicht noch etwas retten können. Da ich vorhin mit Kompositionsreihen und Z hantiert hatte, wollte er dann von mir die Aussage des Satzes von Jordan-Hölder wissen. Ich habe ihm den Satz von Schreier aufgesagt, er hat mich darauf hingewiesen, dann musste ich kurz überlegen und konnte so in etwa dann doch noch Jordan-Hölder zitieren. Was bedeutet äquvalent? Wusste ich nicht mehr, er hat mir zwei Komp.reihen aufgeschrieben, dazu ist mir aber nur wieder eingefallen (sic!), dass wir die gleiche Länge haben wollen. Daraufhin hat er mir die Definition gegeben.

P: Welche Aussage braucht man zum Beweis der Sätze?

I: Schmetterlingslemma, es macht eine Aussage über die Struktur von Untergruppen und normalen Untergruppen einer Gruppe.

P: Und wie stehen die zueinander in Beziehung?

I: Habe dann laut überlegt, dass womöglich die einen in den anderen enthalten sein müssen.

P: "Das könne nicht funktionieren, sie müssen den Schnitt nehmen."

I: Ah ok.

P: Ringe?

I: Ja ok.

P: Was können Sie mir über den Ring Z/168Z sagen?

I: Ich könnte den chin. Restsatz für teilerfremde Faktoren von 168 anwenden, dazu bräuchte ich aber die Primfaktorzerlegung.

P: 168 = 3*7*8

I: Sage, dass dann Z/168Z isomorph zum kartesischen Produkt ist, schreibe aber versehentlich Gleichheit auf, nachdem er mich darauf hinweist, präzisiere ich auf Ringisomorphie.

P: Wissen Sie, was mir an der Zahl 168 so gut gefällt?

I: ... (WTF?)

P: Was können sie über die Gruppe Z/168Z sagen?

I: Ich überlege laut mit einfach, ausflösbar etc. rum, komme aber auf kein Resultat, richtig wäre "Zweitkleinste nichtabelsche einfache Gruppe" gewesen. (Das steht nicht mal in der Zusammenfassung?!!)

Das war es komischerweise schon zu Ringen, jetzt also Körper.

P: Können sie mir eine Körpererweiterung der Ordnung 28 konstruieren?

I: Nehme eine 28. primitive Einheitswurzel und adjungiere sie zu Q.

P: Warum hat das jetzt Ordnung 28?

I: Ich schreibe hin: Galoisgruppe ist isomorph zur Einheitengruppe von Z/28Z.

P: Warum ist das eine Galoiserweiterung?

Ich zähle endlich, algebraisch, separabel, normal mit Definition auf und sage, dass wir einen Zerfällungskörper von x^28-1 haben.

Er war zufrieden damit.

P: Wie viele Elemente hat denn nun die Einheitengruppe von Z/28Z?

I: Ich würde jetzt via Brute-Force alle kleineren zu 28 teilerfremden Zahlen zählen.

P: Es gibt einen schnelleren Weg.

Also zerlege ich, ohne Recht zu wissen, worauf er hinauswill, wieder mit chinesischem Restsatz: Z/28Z = Z/4Z x Z/7Z, starre kurz darauf ... Klick.

I: Ich kann die Ordnungen multiplizieren und erhalte 14 ääähh 2*6 = 12 Elemente (Passt bloß mit den Zahlen auf, er ist darin megagut und ich hatte das Gefühl soeben einen kleinen Minuspunkt gesammelt zu haben, auch wenn ich mich für meine Nervosität entschuldigt habe.)

Prof. Pink erklärt, dass dafür Gruppenisomorphie nicht ausreiche, aber gerade weil wir Ringisomorphie hätten, würde der Trick funktionieren.

P: Ist Z/28Z auflösbar? (Ich dachte wir waren mal bei Körpern ...??)

I: Falls es eine Subnormalreihe mit abelschen Subfaktoren gibt. Ich versuche es mal mit den Sylowsätzen (weil wir die noch nicht hatten), überprüfe also die Voraussetzungen und fange an 2-Sylowgruppen zu zählen (28=2^2*7).

P (Er unterbricht mich): Es ist meistens besser zuerst mit der größeren Primzahl zu beginnen.

Dann zähle ich also 7-Sylowgruppen, es gibt nur eine, nenne sie P und diese ist ein Normalteiler.

Er nickt, ich schreibe eine Subnormalreihe aus G, P und 1 auf. Sage dann: Ordnung 7 => Primordnung => zyklisch => abelsch.

P: Warum sind wir jetzt fertig?

I: Das wusste ich, G/P hat Index 4 = 2^2 und jede Gruppe der Ordnung p^2 ist abelsch.

P: Wie haben wir das bewiesen?

I: Wir brauchen, dass jede p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat.

P: Das stimmt nicht, die Gruppe darf nicht trivial sein, das dürfen sie nicht vergessen (sic!).

I: Richtig, aber das haben wir hier ja auch nicht.

P: Können sie mir jetzt eine Körpererweiterung der Ordnung 28 konstruieren?

I: Jaa, nehme eine 29. Einheitswurzel, 29 ist prim, daher hat die Einheitengruppe 28 Elemente.

P: Können sie mir Zwischenkörper konstruieren?

I: Da würde ich zuerst versuchen Untergruppen zu bestimmen und dann den Hauptsatz der Galoistheorie anwenden.

P: Dann sagen sie mir mal was über die Einheitengruppe von Z/29Z.

I: Sie ist zyklisch.

P: Warum?

I: 29 ist prim und wegen Lagrange. (Das reicht ihm erkennbar nicht)

P: Z/29Z ist sogar ein Körper und endlich, wir hatten da mal einen Satz ...

I (vollenden gemeinsam): ... die Einheitengruppe endlicher Körper ist zyklisch.

P: Welche Untergruppen haben sie also damit?

I: Solche, deren Ordnung 28 teilt.

P: Schreiben sie mal die Gruppe anders hin.

Ich schreibe sie als Erzeugnis eines Elements tau und beginne dann sofort alle anderen Untergruppen aufzuschreiben (alle zyklisch).

Nachdem ich aufgehört habe, fragt er mich, ob ich fertig sei, es könnte ja noch andere zyklische Gruppen gleicher Ordnung geben (habe die ganze Gruppe und die triviale Gruppe nicht vergessen).

Ich kam dann drauf, dass alle endlichen zyklischen Gruppen der Ordnung n isomorph zu Z/nZ sind, soll ich dass beweisen?

P: Nein, wählen Sie jetzt eine Untergruppe und geben mir den Zwischenkörper an.

I. Da nehme ich einfach die triviale Untergruppe, die korrespondiert mit der gesamten Galoiserweiterung.

P: Das stimmt, nehmen sie jetzt noch eine andere Untergruppe außer die ganze Gruppe selbst.

I. Ich wähle das Erzeugnis von tau^2 und bestimme mittels Hauptsatz den nötigen Körpergrad etc.

P: Wir hatten mal ein allgemeinen Satz, wie man Zwischenkörper konstruiert ...

Nachdem ich stumm blieb, entgegnete er in nicht zu deutendem Tonfall (Ironie oder Ernst?!):

P: Nun, wir können das wahrscheinlich beide, können sie denn einen Erzeuger raten?

I: Ich denke laut Q(zeta^2), wobei zeta primitive 29. Einheitswurzel ...?

P: Nein, aber da haben Sie sich auch ein schweres Beispiel rausgesucht, der Erzeuger ist cos(2*pi/29) ... Moment nein, das stimmt ja gar nicht, das korrespondiert mit tau^14, versuchen sie mal zeta^1+zeta^2+...+zeta^14.

Ich schaue ratlos (man geht wohl bis 14, da ich mir tau^2 rausgesucht habe und 28/2 = 14??).

P: Ja, das hätte ich auch nicht von Ihnen verlangt , ich denke wir belassen es dabei und machen alle Feierabend.

Aline 30.08., 08:30-09:00

Ich durfte zuerst ein Thema wählen, ich habe Gruppen genommen. Dann wollte er wissen was die symmetrische Gruppe ist. Wir haben über Zykel und das Signum gesprochen. Über die alternierende Gruppe, wann Sn und An auflösbar bzw. einfach sind. Später kamen wir zu irreduziblen Elementen und Polynomen. Ich sollte noch die Sylow-Sätze sagen und sie an einem Beispiel anwenden. Dabei kam er wieder auf auflösbare Gruppen. Dann hat er mir ein Polynom aufgeschrieben und wollte wissen was ich darüber sagen kann, aber mit Galoistheorie im Hinterkopf. Ich habe nicht verstanden was er wollte, aber hab dann über Zerfällungskörper gesprochen. Zum Schluss ging es nochmal um Ringe, genauer gesagt um den ggT. Er wollte die Definition, warum er immer existiert und er wollte auf den euklidischen Algorithmus hinaus, was ich aber nicht verstanden habe. Dann war die Zeit auch schon um.

Daniel 31.08., 09:00-09:30

Auch ich durfte zuerst wählen, ich habe Ringe genommen. Dann hat er gefragt was denn ein Polynom sei. Er wollte hören, dass es ein Element des Polynomringes ist, ich habe allerdings gesagt, dass es eine Linearkombination von Monomen sei. Daraufhin wollte er wissen was ein Monom sei und schlussendlich habe ich alles tatsächlich so definiert wie er wollte. Dann haben wir über diesen Polynomring gesprochen und was ich darüber weiss. So hat er eine Verknüpfung zu Symmetrischen Polynomen und Elementarsymmetrischen Polynomen gemacht, darüber wusste ich leider fast nichts. Dann hat er mir ein Polynom hingeschrieben und wollte wissen was ich im Sinne der Galoistheorie darüber weiss, Körper durfte ich wählen. Ganz zum Schluss hat er mich noch gefragt was ich über eine Gruppe der Ordnung 18 wisse, schliesslich wollte er auf die Sylowsätze kommen. Die Zeit war da bereits überschritten und so hat er mir einen schönen Tag gewünscht.

Er hilft einem gerne weiter und ist sehr nett. Ihm persönlich ist es sehr wichtig, dass die Vorraussetzungen für Sätze alle gesagt sind (wenn möglich vor der Aussage des Satzes). Ansonsten sagt er gerne man solle den Satz beweisen, was dann viel schwieriger oder unmöglich ist.

Anthony 31.08.,13:30-14:00

Auch ich habe mit Gruppen angefangen, er wollte wissen was eine Kompositionsreihe ist, mit allen Definitionen(Subnormalreihe,einfach) und Beispiele hören. Haben über Z geredet und über SL2(R). Dann wollte er den Elementarteilersatz hören, haben über die Aussage über die Unterdeterminanten geredet und sind schlussendlich zur Zerlegung von Matrizen über R durch orthogonale Matrizen gekommen(...Linalg). Dann nochmals kurz Definition von HIR mit Beispielen. Haben dann über endliche Körper geredet, viel über Separabilität und über Körper mit unendlichvielen Zwischenkörper. Er hat dann die Hauptassistentin aufgefordert eine Frage zu stellen, sie wollte dass ich eine Galoiserweiterung finde... habe es leider nicht wirklich richig hingekriegt, Pink war nicht ganz zufrieden, hackte noch ein paarmal nach, half aber imme r und wollte zum Abschluss noch den Satz über die Konstruktion von Zwischenkörper hören. Pink ist sehr freundlich, lässt genug Zeit zum denken, aber hilft wenn mann nicht weiterkommt. Manchmal stellt er ungenaue Fragen und mann weiss dann nicht so genau was er hören will, ich habe dann einfach alles gesagt was ich gerade zum Thema wusste, kam zuletzt auf das was er hören wollte. Er hat sich dann entschuldigt, er habe Verständnis dass man nicht immer alles versetehen könnte was er genau denkt.

Matrizen über R durch orthogola Matrizen

Moji 31.08.,15:40-16:10

Ich habe zum Erstaunen von Pink mit Körpern angefangen und musste zunächst die Definition von 'ner Galoiserweiterung geben, von algebraisch, separabel, normal; Er wollte von mir die Definition von einer Transzendenzbasis und dann noch eine angeben fuer die Erweiterung Q(π)/Q worauf ich dann etwas überfordert war und dann gesagt habe dass π eine Transzendenzbasis davon wäre und Pink wollte dann noch weitere hören jedoch war ich damit ein bisschen überfordert. Wir sind dann weiter zum Polynom x^6-6 wovon ich die Galoisgruppe bestimmen sollte; das ging nicht ganz so leicht wie erhofft aber Pink hat sehr geholfen und noch zusätzliches erzählt; Dann hat er mich nach gut 20min Körpertheorie nach auflösbaren Gruppen gefragt: Die Definition davon und ein Beispiel fuer eine nicht auflösbare Gruppe, da nannte ich ihm A_5 und er wollte, dass ich ihm das beweise und zu guter letzt hat er mich dann noch ueber symmetrische Polynome und dessen Hauptsatz gefragt.

Pink und Waltraud sind sehr angenehme Prüfer und helfen sehr gerne wenn man nicht weiter kommt!

Lukas, 1.09., 08:30-09:00

Ich habe mich entschieden, mit Ringen anzufangen. Er hat zuerst nach der Definition eines Faktorrings gefragt. Ich habe zuerst faktoriell verstanden, hab dann aber das richtige definiert. Er hat noch nach einer Anwendung gefragt, ich habe dann \(\mathbb{C}\) aus dem Polynomring über den reellen Zahlen konstruiert. Danach sind wir zu Körpererweiterungen gedriftet. Erst die Definition einer algebraischen Körpererweiterung, dann einfache Körpererweiterungen, und wieso sie algebraisch sind (letzteres konnte ich nicht so sinnvoll beantworten). Dann sollte ich den Hauptsatz der Galois-Theorie aufschreiben. Danach hat er noch gefragt, wie viele Zwischenkörper von der von den 17ten Einheitswurzeln erzeugten Körpererweiterung über den rationalen Zahlen es gibt. Ich hab dann angefangen mit der Galois-Gruppe und hab da ein bisschen rumgerechnet. Danach Gruppen: Was ist auflösbar, und wann ist die Symmetrische Gruppe auflösbar? Was ist die kleinste Ordnung einer nicht auflösbaren Gruppe? Danach noch Sylow-Sätze aufsagen.

Nach der Prüfung hat er mich noch auf meine Handschrift, insbesondere mein grosses Gamma, aufmerksam gemacht ;)