Algebra - 2020

Vivek, 17.08., 14:30 - 15:00

Mr. Steinmann let me in at 14:32 and the exam began at 14:35. Wearing a mask is optional and you can either write on a big black board or just answer out loud, Prof. Pink does not care. After overhearing me talking to myself in English Prof. Pink offered to conduct the exam in English. so I believe you also have the option to do the exam in English. He is very chill.

Algebra I:

• Definition of an integral domain, definition of a prime ideal. State and prove an equivalent definition of a prime ideal, namely: ideal \(I\) is prime iff \(A/I\) is an integral domain. (only had to show one direction (left to right))
• Give examples of prime- and non-prime ideals.
• Definition of a quotient field, the quotient field of \(\mathbb{Z}[i]\) and prove it is (isomorphic to) \(\mathbb{Q}(i)\)
• Definition of \(S_n\) and state all properties you know. (\(|S_n|=n!\), all finite groups are isomorphic to a subgroup of \(S_n\), for \(n\geq 5\), the only normal subgroups of \(S_n\) are \(S_n\), \(A_n\) and the trivial subgroup, \(S_n\) is solvable iff \(n\leq 4\)).
• Definition of a solvable group. Prove \(S_4\) is solvable. (My brain went brrr here and I blurted out the klein group is normal in \(S_4\) lol )
• Prove \(S_4/K_4\) is isomorphic to \(S_3\). (apparently we did this in lecture and even Mr. Steinmann was surprised, then Prof. Pink said "Ah, da hat jetzt auch Herr Steinmann etwas neues dazu gelernt", the statement is in page 45 btw)

Algebra II:

• Definition of algebraic closure, when does one exist? Idea of the proof.
• The algebraic closure of \(\mathbb{Q}\).
• Galois group of \(X^7+1\). (Again; brain went *windows shutdown sound* and could not see it is separable just like \(X^7-1\) but he let me work with \(X^7-1\) and its galois group is of course \((\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times\))
• Subfields of the Galois group. Construct them (I ran out of time here)

They spent 22 minutes on Algebra I and 8 minutes on Algebra II. They let you speak and you will(!) get interrupted if you make a tiny mistake. Prof. Pink also gives useful hints sometimes and if he sees that you understand the concept, he is nice enough to stop you and skips it. In general both of them are very friendly but I was still quite nervous. If you make mistakes like I did (klein group is normal in \(S_4\)), they guide you through it and allow you to correct yourself, which I found very nice. I recommend talking as fast as you can, Prof. Pink is a beast and understands everything you say at any rate.

Expected grade: 4.5, Grade: 5.75

Alice, 19.08., 8:30 - 9:00

• Was ist ein Polynom, ist \(X^3+Y^2\) reduzibel über K[X,Y], wieso haben wir nicht Polynome durch Funktionen definiert?. Definition von irreduzibel, von prim, wann impliziert das eine das andere. Beweis von prim impliziert irreduzibel. Beispiel von Faktorielle Ringe.
• Satz Lagrange, Beweis davon.
• Definition symmetrische Polynom, Hauptsatz.
• Was ist eine zyklische Gruppe
• Was kann man über eine Gruppe der Ordnung 28 sagen? existiert ein Körper dieser Ordnung?
• Hauptsatz der Galois Theorie (nur die bijektion).

Duri, 19.08., 11:30 - 12:00

Ich habe zu Beginn Ringe gewählt.

• Was ist ein Polynom? (Konstruktion Polynomring) Wieso ist das so definiert? Wieso unterscheiden wir Polynome von Polynomfunktionen?
• Was ist ein Symmetrisches Polynom? Hauptsatz? Beweis/Beweisidee? \(\sum_{i=1}^n X_i^3 \) in elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
• Was können sie mir zu \(K(X_1, ..., X_n)/K(S_1, ..., S_n)\) sagen? Wieso ist die Galoisgruppe davon \(S_n\)? Wann ist die Erweiterung auflösbar? Wieso ist \(S_n\) nur für \(n<4\) auflösbar? Beweis \(A_n\) für \(n\geq 5\) einfach.
• Hauptsatz der Galoistheorie aufsagen. Welcher Zwischenkörper gehört bei der obigen Erweiterung zu der Untergruppe \(A_n\)?

Danielle, 25.08., 13.00-13.30

• Chinesischen Restsatz aufsagen/-schreiben und beweisen
• Wie viele Gruppen der Ordnung 15 gibt es? Er geht aus meiner Antwort (zyklische Gruppe der Ordnung 15, semidirektes Produkt von Gruppen der Ordnung 3 und 5) zum semidirekten Produkt über: Definition vom semidirekten Produkt, Definition von Gruppenoperation, welche Eigenschaften müssen die Gruppenoperation und die Grupppen beim semidirekten Produkt zusätzlich haben (z.B. damit die Ordnung des semidirekten Produkts das Produkt der Ordnungen der Gruppen ist), was für konkrete Gruppenoperationen kommen in Frage, Automorphismen der Gruppen, wann ist das semidirekte Produkt kommutativ? (hier war auch in den Serien erarbeitete Theorie gefragt)
• Sylowsätze, Anwendung auf Gruppe der Ordnung 15, zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 15 abelsch ist
• Galoisgruppe von \(X^4-14\), zeige, dass sie auflösbar ist (ohne sie zu bestimmen; anhand des Polynoms). Beweise: L=K[A]/K separabel <=> A ist über K separabel

Jonathan, 27.08., 14:30-15:00

Der Assistent lässt mich zehn Minuten früher rein. Nachteil: Pink isst noch. Der Assistent beginnt:

• Assistent: Was ist Ihnen am liebsten?
• Ich: Ringe
• A: Was ist die Einheitengruppe eines Polynomrings.
• Ich definiere Einheitengruppe eines Rings. Schaue stolz in den Raum.
• A: Ich hatte für einen Polynomring gefragt.
• I: \(R[X]^*=R^*\)
• A: Können Sie das beweisen?
• Ich fange mit der einfachen Richtung an.
• Pink: Das ist okay, Können Sie die andere zeigen?
• Ich fange damit an. Bekomme irgendwann Probleme.
• I: Jetzt geht es nicht mehr weiter, weil es kein Int'Bereich ist.
• P: Nehmen Sie das mal an.
• Ich beende den Beweis.
• P: Allgemeiner Ring?
• I: Sollte immer noch gehen...
• P: Was für nicht Int'Berieche kennen Sie?
• I: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) für \(n\) nicht prim.
• P: Ein konkretes Beispiel?
• I: \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)
• P: Ok betrachten Sie mal \(1+2X\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[X]\)
• Ich betrachte...
• P: Quadrieren Sie!
• Ich quadriere. Oha! 1 kommt raus.
• P: Definieren Sie formelle Potenzreihen.
• Ich definiere.
• P: Davon die Einheitengruppe.
• I: Das ist \(\{a+Xf: a \in R^* f\in R[ [X] ]\}\).
• P: Beweisen Sie!
• Ich beweise \(R[ [X] ]^*\subseteq\{a+Xf: a \in R^* f\in R[ [X] ]\}\)
• Ich beweise mehr oder weniger die Umkehrrichtung ohne eine Formel fürs Inverse zu bekommen.
• P: Okay, tun Sie mal so als würden wir Analysis machen. Reduzieren sie auf den Fall \(a=1\)
• Ich finde \((1+Xf)^{-1}=\sum_{i=0}^\infty (-Xf)^{-1}\)
• P: Definieren Sie algebraische Körpererweiterung.
• Ich beginne mit der Definition von algebraischem Abschluss, stoppe in der Mitte und definiere algebraische Körpererweiterung und algebraische Elemente.
• P: Nennen Sie eine algebraische Körpererweiterung!
• I: Klar... Ääähhh \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)
• P: Was sagt die Galoistheorie darüber.
• I: Es ist galoissch, weil Zerfellungskörper von \(X^2+1\). Galoisgruppe vom Grad 2 also \(C_2\).
• Pink merkt, dass ich ein dummes Beispiel gewählt habe: Zurück zum algebraischen Abschluss. Können Sie den definieren?
• Ich kann und tue.
• P: Einen algebraischen Abschluss von \(\mathbb{Q}\) definieren.
• I: Einer ist \(\bar{\mathbb{Q}}:=\{x\in\mathbb{C}: x\text{ algebraisch über }\mathbb{Q}\}\).
• P: Beweisen Sie das!
• I: Es ist klar, dass es algebraisch ist.
• P: Warum ist es ein Körper?
• Ich denke ein bisschen und mache den Trick:
• Es gilt \(\bar{\mathbb{Q}}\subseteq \mathbb{Q}(\bar{\mathbb{Q}})\) weil \(K(A)/K\) genau dann algebraisch ist, wenn jedes Element in A algebraisch ist, folgt \(\mathbb{Q}(\bar{\mathbb{Q}})\subseteq \bar{\mathbb{Q}}\). Damit sind wir fertig.
• Pink lacht. Ich bekomme Angst.
• P: Das ist frech. Aber ich finde es gut, wenn Studenten frech sind. Sätze sind da um benutzt zu werden. Beweisen Sie noch, dass dieser Körper algebraisch abgeschlossen ist.
• Ich will beginnen, merke aber, dass \(\bar{\mathbb{Q}}\) eine schlechte Notation ist und bemerke das.
• P: Jetzt geht's ja schon, weil Sie gezeigt haben, dass \(\bar{\mathbb{Q}}\) ein Körper ist.
• I: Aber \(\bar{\mathbb{Q}}\) ist die Notation für einen algebraischen Abschluss von \(\mathbb{Q}\), was ja noch nicht klar ist.
• P: Okay.
• Ich definiere \(K:=\{x\in\mathbb{C}: x\text{ algebraisch über }\mathbb{Q}\}\). Nehme ein Polynom \(f\in K[X]\). Schreibe es als \(f=a(X-a_i)\in \bar{K}[X]\).
• P: Ähm... Entschuldigung.
• Ich korrigiere zu \(f=a\prod_{i=1}^n(X-a_i)\)
• I: Mit einem induktiven Argument können wir zeigen, dass es genügt, dass \(a_1\in K\) gilt.
• Ich erläutere ein wenig dieses Argument.
• Dann sage ich, weil \(K(a_1)/K\) und \(K/\mathbb{Q}\) beide algebraisch sind, ist \(K(a_1)/\mathbb{Q}\) algebraisch und somit \(a_1\in K\}.
• P: Zeigen Sie diese Proposition.
• Ich will die Tafel wischen. Zum einen weil kein Platz mehr da ist zum anderen weil ich Zeit gewinnen will.
• P: Zwängen Sie es sonst wo hin. Die Zeit drängt.
• Ich zeige die Proposition, indem ich brauche, dass eine Körpererweierung endlich ist genau dann, wenn sie algebraisch und endlich erzeugt ist.
• Der Assistent nickt Professor Pink zu. Dieser sagt: Zeit ist um. Jetzt haben wir keine Zeit für Gruppen gehabt. Ist aber schon gut so.

Carmen, 26.08., 09:30-10:00

Ich bin reingekommen und er hat mir als erstes gefragt was ich am langweiligsten fand von der ganzen Vorlesung. (Ich hatte Angst, dass er mir eine Frage darüber stellt). Ich hab trotzdem gesagt, dass ich Module am langweiligsten fand, da sie sehr ähnlich zu Vektorräume sind und haben sehr ähnliche Eigenschaft. Ich hab gesagt, dass wir das schon sehr ausführlich in Lineare Algebra hatten und es in der neuen Vorlesung nicht so spannend war. Er meinte ich habe recht und dass er es auch langweilig fand, aber wir sollten dass bearbeiten, da wir später ein sehr wichtiges Satz beweisen müssten. Er hat mir um diesen Satz gefragt und ich hab ihm gesagt es wäre den Klassifikationssatz, ich hab es dann aufgeschrieben. Er hat mich gefragt, wann diese Gruppe G endlich sei, und ich hab ihm geantwortet falls r=0. Die nächste Frage war über die Isomorphieklassen der Ordnung 8. Als nächstes haben wir über über auflösbaren Gruppen gesprochen und warum eine abelsche Gruppe auflösbar sei. Ich sollte das beweisen. Ich hab ein bisschen gefreestyled und über Nebenklassen gesprochen aber er wollte die genaue Erklärung der Vorlesung. Als nächstes hat er mich gefragt ob es ein Körper mit 35 Elementen gäbe. Ich hatte nicht so viel Ahnung, also habe ich über Z modulo 35 gesprochen (was eigentlich kein Körper ist) und ich sollte erklären warum es kein Körper sei und wie ein Nullteiler definiert ist. Dann hat er gefragt warum Z modulo 12 auflösbar sei. Ich hab ihm gesagt weil die Ordnung kleiner als 60 ist, und das hat ihm nicht gereicht. Dann habe ich gesagt weil 12=2^2*3 ist (2 und 3 Primzahlen) und wir hatten noch ein Satz der besagt, dass alle Gruppen der Ordnung p^2*q mit Primzahlen p und q auflösbar sind. Er wollte, dass ich diese Aussage beweise, und ich hab gesagt man beweist sie mit den Sylowsätzen. Dan fragte er “Ja, aber wie?”. Und ich bin nicht so weit gekommen mit dem Beweis. Hab über die Anzahl Sylowgruppen gesprochen. Dann sollte ich die Sylowsätze sagen. Als nächstes hat er mich gefragt was eine algebraische Erweiterung sei. Ich sollte ein Beispiel eine algebraische Zahl über Q geben. (Hab 2 gesagt). Un deren Minimalpolynom. Er fragte ob die dritte Wurzel von 2 algebraisch ist und was ich über deren Erweiterung weiss. Ich hab gesagt es sei algebraisch, den Minimalpolynom aufgeschrieben und weiter, dass es endlich galoisch ist. Definition einer Galoiserweiterung. Er hat gefragt ob diese Erweiterung normal sei. Ich hab zuerst ja gesagt, hab dann die Definition von normal und von ein Zerfällungskörper gegeben, hab gemerkt, dass die Erweiterung kein Zerfällungskörper von x^3-2 sei und hab meine Meinung geändert. Also die Erweiterung ist nicht normal.

Er ist sehr nett und fängt die Prüfung mit einem Lächeln an. Ich hab sehr viele Fehler gemacht und er hat mich geholfen die zu korrigieren. Er wollte auch immer korrekte mathematischen Aussagen und hat mein Deutsch auch korrigiert und wie ich meine Formulierungen angefangen habe. Als letztes hat er mich gesagt, dass ich sollte lernen mich auszudrücken ( lol ). Ich hab ihm geantwortet, dass es mir leid tuhe, dass ich aus Spanien komme.

Yannik, 27.08., 10:30-11:00

Wir haben mit Ringen angefangen. Pink wollte wissen, was ich über \( \mathbb{Z}[i] \) sagen kann. Ich hab zuerst die Definition gegeben und gesagt es ist ein Integritätsbereich, Pink fragt wieso? Ich antworte weil \( \mathbb{Z}\) ein Integritätsbereich ist, doch das ist korrekt. Dann sag ich weil \( \mathbb{C}\) einer ist und wir einen Unterring davon betrachten. Ich erwähne noch, dass es kein faktorieller Ring ist. Pink fragt wieso? Ich sag es gibt ein Gegenbeispiel, doch ich kann mich nicht ganz daran erinnern. Ich versuche es irgendwie an der Wandtafel, aber komme nicht weit. (hab noch nachgeschaut und wir hatten das für \( \mathbb{Z}[i\sqrt{5}]\) bewiesen upps).

Dann fragt er, was ich über den Quotientenkörper dieses Ringes sagen kann. Ich musste kurtz überlegen. Dann erleichtert, weil wir damit das Thema wechseln konnte. Ich hab eine Gleichung hingeschrieben, wo am Ende\( \mathbb{Q}(i)\) herausgekommen ist. Hab gesagt, wir können das als eine Körpererweiterung von \( \mathbb{Q}\) betrachten mit Grad 2. Hab noch gesagt, es ist eine algebraische Körpererweiterung, Pink fragt wieso? Ich sage, wir kennen ein Polynom mit Nullstelle \(i\) zum Beispiel \(X^2 + 1\). Er war nicht zufrieden damit und ich musste die Definition von algebraisch geben mit Quantoren etc. (ich war dann etwas verwirrt wie/was er gefragt hat. Er wollte auf einen Satz raus, der sagt: ist \(L/K\) endlich so auch \(L/K\) algebraisch.

Mir war genug von diesem Thema, also hab ich die Galois-Theory erwähnt. Pink ist darauf eingegangen und hat nach den Voraussetzungen gefragt und wieso sie hier zutreffen. Hab diese genannt und gesagt dass die Galoisgruppe ist \( C_2\). Er fragt, was \(C_2\) ist. Ich erkläre es kurz. Dann fragt er nach der Galoisgruppe von \(X^4-27\). An der Tafel schreibe ich kurz die Nullstellen hin und sage, die Galoisgruppe ist \(D_4\). Pink fragt wieso? Ich versuche etwas zu erzählen, doch komme nicht sehr weit.

Pink fragt, wie viele Untergruppen hat \(D_4\), ich fang an die Untergruppen aufzulisten. Ich hätte mir mehr zeit nehmen sollen, weil es wird etwas ein durcheinander. Er will, dass ich diese Gruppe mit Erzeugenden und Relationen definiere. Dann ist noch eine Minute übrig und ich sollte noch die Sylowsätze nenne. Ich mache die ersten 3 mündlich und den 4ten an der Tafel, dammit es schneller geht.

Review: Die Prüfung war nicht unangenehm, obwohl ich vieles nicht wirklich konnte. Man kann die Themen eigentlich stark selber beeinflussen. Zurückschauend hätte ich mit mehr Zeit nehmen sollen, etwas vorauszuschauen und nur die Dinge erwähnen, über die ich auch kompetent sprechen kann.

Jonathan, 26.08., 10:30-11:00

Pink hat mich gefragt, welches Resultat aus der gesamten Algebra mich am meisten überrascht hätte. Ich hab ihm Feit-Thompson genannt. Er hat mich darauf gefragt, ob ich in diesem Fall gerne mit Gruppen beginnen möchte. Ich meinte, ich würde lieber mit Körpern beginnen. Dann hat er mich gefragt, ob es einen Körper mit 1024 Elementen gibt (ja, weil 1024 = 2^10 eine Primpotenz ist). Die Aussage, dass zu jeder Primpotenz ein Körper dieser Ordnung existiert, sollte ich beweisen. Dann hat er mich gefragt, ob es einen Ring mit 12 Elementen gäbe. Ich habe ihm Z/12Z genannt. Er wollte einen weiteren hören. Dann sollte ich den chinesischen Restsatz aufschreiben, beweisen und am Beispiel von Z/12Z anwenden. Zu Gruppen wollte er wissen, was eine auflösbare Gruppe und warum die S4 auflösbar sei. Anschließend sollte ich die Sylowsätze nennen und auf die S5 anwenden. Zum Schluss fragte er mich, ob wenn ich eine Körpererweiterung L/Q (Q = Körper der rationalen Zahlen) mit Galoisgruppe S5 habe, ob dann ein Zwischenkörper von Grad 4 über Q existiert (Schema der Galoiskorrespondenz aufmalen, zeigen, dass das Problem äquivalent dazu ist, eine Untergruppe der S5 der Ordnung 30 zu finden, und irgendwie geht das dann nicht, weil die S5 dann auflösbar wäre).

Ich kann nur empfehlen, schnell zu reden und vor allem schnell zu sagen, wenn man etwas nicht kann, denn dann hat man mehr Gelegenheiten, um (durch Definitionen, Beispiele, etc.) zu zeigen, was man gelernt hat, als wenn man sich an einer Sache aufhängt, die man nicht kann. Alles in allem war mein Ergebnis ungefähr eine ganze Note besser, als ich es eingeschätzt hätte.