Mass und Integral - 2019

Marco, 19.08.2019 11:15-11:30

20 min Verzögerung. 3 min Vorbereitungszeit, vielleicht auch etwas mehr, die Seiten schlägt er davor schon im Skript auf. Man durfte aber das Skript während der Prüfung einfach verwenden.

Fragen:

• 14. Beispiel I.3.9.
• 59. IV.1.11

Ich habe 14. gewählt. Er wollte die Definition der Cantor Menge und deren Eigenschaften wissen (was sie speziell macht ist, dass sie überabzählbar ist). Danach sollte ich mehr über die devils staircase erzählen. War nicht so ganz sicher, wie die jetzt diffbar, stetig,... war. Am Ende fragte er noch warum das Cantor Mass nicht abs. stetig bezüglich dem Lebesgue Mass wäre, ich vermutete dass jedes solche Mass dann nicht Mass null ergäbe für die Cantor Menge, erwähnte noch die Aussage von Radon Nikodym. Er meinte aber am Ende "positive Note". (Ich fragte dann noch: Das heisst genügend ^^)

Wayne, 19.08.2019 13:30-13:45

Es gab eine Verspätung von ungf. 15 Minuten.

Prof. Teichmann und sein Assistent begrüssen dich in seinem Büro. Die Stimmung ist sehr entspannt. Er gibt dir Papier und Stifte. Man kann auswählen, ob man die Prüfung auf Englisch oder Deutsch machen will. Teichmann clickt 2 mal auf seinem PC und wählt 2 zahlen zwischen 1 und 63. Danach sagt er, welche Theoremen ausgewählt geworden sind.

Fragen:

• 46. Theorem II.6.8
• 47. Theorem II.6.11

Ich habe Frage 46. ausgewählt, man hat 3 Minuten Vorbereitungszeit, in dem man das Skriptum anschaut, die Stichpunkten vom ausgewählten Beweis aufschreibt und die Definitionen kurz überfliegt. Danach trägt man den Beweis vor, Teichmann gibt dir Hinweise und lässt dich sogar das Skriptum anschauen falls du wirklich stecken bleibst. Nicht wie Sisto aber lässt er dich kaum Zeit, um zu überlegen, sondern unterbricht er dich, falls du zu lang daran bleibst, wahrscheinlich wegen Zeitgründen.

Er hat mich danach noch gefragt, falls \Omega eine endliche Menge ist (endliche Kardinalität), wie dann die signierten Masse da drinnen aussahen.

Am Ende hat er mir sogar Feedback gegeben, wie gut die Prüfung war... "Langsam und holprig, aber man hat gesehen, dass Sie den Stoff verstanden haben und sich mit dem Fach bemüht haben... war keine schlechte Prüfung ;)"

Fabian, 19.08.2019 14:30-14:45

Fragen:

• 9. (Carathéodory) Konstruktion eines äusseren Masses aus einem Prämass
• 38. Für endliche Massräume und \(1 \leq p \leq q \leq \infty \) gilt \( L^q \subset L^p \).

Ich habe das zweite Thema gewählt, und danach gab er mir drei Minuten Zeit, um mich vorzubereiten (die Entscheidungsfindung für ein Thema ist also ausserhalb der drei Minuten). Danach setzte sich Prof Teichmann neben mich und begann die Prüfung:

• T: Definieren Sie die Räume \(L^p \)
• F: Wir können für \(p \geq 1 \) eine p-Norm definieren: ... \(L^p \) sind nun jene Funktionen mit endlicher p-Norm.
• T: Warum ist nun \( L^q \subset L^p \) für endliche Masse?
• F: Dies folgt aus der Hölder-Ungleichung: ...
• T: Gilt diese Inklusion auch für \(p = \infty\)?
• F: Ja, Hölder gilt auch für \(p = \infty\).
• T: Nimm nun eine \(L^\infty\)-Funktion und betrachte deren p-Norm. Was passiert damit, wenn p gegen unendlich strebt?

Das war eine Serieaufgabe: Es gilt \( \lim_{p \rightarrow \infty} ||f||_p = ||f||_\infty \). Daraufhin habe ich versucht diese Identität zu beweisen, habe aber gleich am Anfang einen Fehler gemacht, auf den mich Prof Teichmann dann hingewiesen hat. Im zweiten Anlauf konnte ich eine Richtung der Ungleichung beweisen und hatte für die andere die korrekte Idee. Prof Teichmann konkretisierte die Idee und half dann bei einer Abschätzung. Die Zeit war noch nicht ganz vorbei, aber er liess mich bereits gehen.

Fazit: Schaut euch die Serieaufgaben nochmals an.

Anton, 19.08.2019 17:00-17:15

Meine Fragen waren 20 und 23. Ich habe mich für Lemma I.2.6 (mon. conv) entschieden. Man hat an sich so viel Zeit wie man will für die Notizen, keiner stopt die Zeit. Bei mir waren die aber auch nutzlos.

• T: Was können sie mir zu diesem Lemma sagen?
• I: (habe an diese Frage genutzt um so viel wissen wie möglich loszuwerden, bis ich nach 2-3 min unterbrochen wurde.) Irgendwann meinte ich das sei die einfachste Konvergenzaussage zum Integral. Daraufhin:
• T: Warum ist dieses Lemma nicht selbstverständlich?
• I:??
• T: Sie meinten doch das sei die einfachste. Ich meine fn und f sind allg. Treppenfunktionen...

Dann haben wir ein bisschen rumdiskutiert (ich habe versucht auf die allgemeine Defintion von Maßen einzugehen), bis ich gesagt habe dass ich eigentlich nicht weiß worauf er hinaus will. Er hat dann ein Bild von einer Treppen Funktion an die Tafel gemalt. Ich habe bist jetzt noch nicht verstanden was er von mir wollte. Ich habe dann gesagt dass die Konvergenz auch durch Verfeinerung der charakteristischen Funktionen stattfindet und dann hat er gegrinst und weiter gemacht.

• T: Fassen sie den Beweis zusammen
• I: Das Skript lag vor uns. Ich hab einfach die grundlegenden Schritte erklärt.
• T: Was wenn das Maß endlich ist?
• I: Die eine Fallunterscheidung präziser erklärt (das Skript lag die ganze Zeit vor uns; wir haben beide die ganze Zeit darauf geguckt und damit gearbeitet. Ich habe meine Notizen nicht gebraucht.Es ging wirklich fast ausschließlich darum Schritte genau zu erklären).Dann wollte er etwas zum Thm I.2.6 wissen.
• T: Was ist die genaue Aussage? Wieso können sie Thm I.2.6 benutzen?
• I: wegen sigma-add.

Dann war die Zeit vorbei.

Teichmann hat mir ein Feedback gegeben. "Ich sehe sie haben gelernt" Er fand es auch sehr lustig dass ich am Anfang so verwirrt war.