Topologie - Wendelin Werner - 2017

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Janosch, 23.08.16, 8:00-8:20

Ich war der Erste :-). Das Protokoll hat Andreas Wieser gemacht (stellt sich als Andreas vor). Herr Werner stellt einen 20' Timer und hat keine Fragen schriftlich vorbereitet, sondern überlegt sie sich im Moment. Sehr angenehme Prüfungsatmosphäre, auch wenn man zwischendurch Mühe hat. Man sitzt an einem runden Tisch rechts gegenüber Andreas, links gegenüber Herr Werner. Man sitzt mit dem Rücken zur Türe, dafür hat man eine schöne Aussicht über Zürich. Der Tisch ist verhältnismässig klein, respektive man sitzt nahe aufeinander.

Fragen (zu meiner Überraschung keine Definitionen zu Beginn):

A kompakt, f stetig: zeige f(A) kompakt

metrischer Raum: zeige kompakt \(\Rightarrow\) folgenkompakt

Definition Fundamentalgruppe und erklären der Operation in der Gruppe. Zeige Assoziativität der Operation.

Arzela-Ascoli: Aussage und eine Anwendung auf \(f_n:[0,1]\to[0,1]\), wo ich den Diagonaltrick hätte brauchen sollen, habe das aber nicht verstanden.

Satz von van Kampen: Aussage und Anfang des Beweises der ersten Aussage

Nicholas, 23.08.16, 8:20-8:40

Werner beginnt bei mir mit Beweisfragen. Zuerst: Zeige dass wenn \(f\) stetig ist, und \(A\subset E\) kompakt ist, dann ist auch \(f(A)\) kompakt. Musste ich nicht ganz beweisen, er unterbricht sobald er merkt, dass man es kann.

Danach beweise, dass in metrischen Räumen Kompaktheit Folgenkompaktheit impliziert (hier will er von mir zwei Varianten hören, zuerst wie es im Skript steht, und dann "direkt", im Prinzip wie bei der Folgenkompaktheit von \([0,1]\) (man spaltet es in immer kleiner werdende Intervalle auf..)).

Satz von Van Kampen. Aussage, dann Anwendung zuerst auf den Kreis, dann auf die liegende Acht, und wie man das iterativ weitermachen kann. Dann Fundamentalgruppe einer Sphäre (\(S^2\)), dann dies mit einem Punkt rausgeschnitten, dann mit zwei Punkten rausgeschnitten. Wie vorhin will er dann hören, dass dies iterativ fortführbar ist.

Dazwischen (er kommt danach wieder auf Fundamentalgruppen zurück) will er noch über den Satz von Alexander reden. Aussage, und in welchen Beweisen benutzen wir es.

Dann: Was besagt das Auswahlaxiom? Was gibt es für Varianten davon? Ist der Satz von Tychonoff äquivalent zum AC?

Atmosphäre ist sehr angenehm, Werner ist sehr freundlich. Er stellt liniertes Papier zur Verfügung, was mir persönlich viel lieber ist als kariertes.

Filippo, 23.08.16, 10:30-10:50

Was ist ein zusammenhängender Raum?

Ist das Bild von einer zusammenhängendes Raum unter einer stetigen Abbildung zusammenhängend? (Ja, mit Beweisidee)

Beispiele von Fundamentalgruppen

Gibt es nicht kommutative Fundamentalgruppe? ("Nummer 8")

Gibt es endliche Fundamentalgruppen? (Ja, Sphäre modulo Identifizierung antipodaler Punkten)

Was besagt Urysohn's Metrisierbarkeitssatz? Braucht man dafür das Auswahlaxiom? (Nur das abzählbare)

Was besagt der Satz von Arzela-Ascoli? (mit Beweisidee)

In welchem Teilgebiet der Mathematik ist der Satz von Arzela-Ascoli wichtig? (Funktionalanalysis)

Prof. Werner und der Assistent sind sehr nett. Wenn man etwas nicht ganz korrekt sagt, schüttelt der Assistent ein bisschen den Kopf, so dass man sich korrigieren kann.

Giulia, 28.08, 10:30-10:50

Was ist ein kompakter Raum?

Was ist das Produkt von 2 topologische Räume? (Def. von Produkttopologie)

Beweisidee von E1 und E2 kompakt => E1xE2 kompakt (ich habe angefangen und fast sofort gestoppt, Prof. Werner hat mir ein bisschen geholfen und dann habe ich nur zusammengefasst, was man eigentlich machen soll)

Van Kampen: nur die Aussage

Fundamentalgruppe des Torus? Fundamentalgruppe von 2 Tori mit einen gemeinsamen Punkt?

Er hat mir gefragt, was ich über Überlagerungen sagen könnte aber darüber wusste ich nichts, ich habe es gesagt und er hat somit über Metrisierbarkeit gefragt:

Beispiel einer nicht-metrisierbarer Raum? Ist ein metrischer Raum immer Hausdorff?

Beispiel einer Hausdorff aber nicht metrisierbarer Raum?

Arik, 28.08, 16:10-16:30

(Ei,Ti) Familie von wegzusammenhängenden Räumen , ist der Produktraum mit der Produkttopologie wegzusammenhängend?

Umgekehrt wenn Produktraum wegzshgd. --> Jeder (Ei,Ti) wegzshgd?

Aussage von Van Kampen mit Anwendung auf Sphäre mit 1 Henkel, dann auf Sphäre mit 2 Henkel ( iterativ weiter ).

Beweis von Metrisierbarkeitssatz

fn: [0,1]--->[0,1] Funktionenfolge welche differenzierbar ist und |fn|<1 für alle n, was kann man darüber sagen und Anwendung von Arzela-Ascoli.

Zheng Chen, 28.08, 15:50-16:10

(E_i,T_i) Familie von wegzusammenhängenden Räumen , ist der Produktraum mit der Produkttopologie wegzusammenhängend? (wusste ich nicht)

Definition wegzusammenhängend

Was ist wegzusammenhängend im E_1xE_2? (gamma(t)=(gamma_1(t),gamma_2(t)))

Formen von Kompaktheit in metrischen Räumen (es existiert endliche Teilüberdeckung, folgenkompakt, vollständig und präkompakt)

Beweisidee kompakt <=> folgenkompakt

Was ist die Fundamentalgruppe? (Def.)

Ist es abhänging vom Punkt? (Nein, erwähne die Homotopie zwischen Schleifen um b&b')

Ist es eine Gruppe? (Ja, neutrales Element, ...)

Welche Strukturen haben interessante Fundamentalgruppen? (S^1, Torus, die Acht)

Beweis Metrisierbarkeitssatz (erwähnte Urysohns Lemma, wusste nicht weiter)

Ist die Zusammenhangskomponente immer abgeschlossen? (Ja)

Die Atmosphähre war angenehm, Professor Werner half weiter wenn man nicht weiter wusste. Wenn er merkt dass man nichts weiss geht er zum nächsten Thema. Keine Verspätung.

Lauro, 29.08, 7:00-7:20

Definition von Zusammenhang. Was ist stärker, wegzusammenhängend oder zusammenhgd? Beispiel für Raum der zusammenhgd aber nicht wegzusammenhgd ist (Bsp aus der Vorlesung). Warum ist der Raum zusammenhängend? Beweise, das der Abschluss eines zusammenhängenden Raums wieder zusammenhängend ist.

Was ist die Aussage von Van Kampen? Dann hat er ein Dreieck gemalt das eine Seite mit einem Quadrat gemeinsam hatte und nach der Fundamentalgruppe gefragt (wie bei der Acht). Dann hat er ein weiteres Dreieck angehängt, etc. Danach hat er eine kompliziertere Form gemalt, deren Fundamentalgruppe man durch iterative Anwendung von oben bestimmen kann.

Dann hat er zwei Formen gemalt und wollte wissen, ob sie homöomorph sind und warum nicht - hier musste ich bei beiden Zeichnungen zwei Punkte rausnehmen und dann sehen, das die Zusammenhangskomponenten unterschiedlich waren - hier bin ich nicht draufgekommen, er hat Tipps gegeben.

Wenn eine Folge f_n auf [0,1] zu null konvergiert, was kann man darüber sagen? (GGS) Beweise, dass die Folge GGS ist.

Was sagt der Metrisierbarkeitssatz? Beweisskizze.

Sylvain, 29.08, 7:20-7:40

Was ist die Definition von Wegzshgd?

Was ist die Aussage vom Satz von Van Kampen? (Hat dann Zwei Dreiecke gemahlt die eine Kante gemeinsam hatten, und ich musste die Fundamentalgruppe von der Vereinigung dieser finden. Achtung! Die einzelne Dreiecke waren nicht offen, man musste noch wie bei der FundGr von der "8" ein Teil des anderen nehmen um dieses Problem zu umgehen.)

Was ist stärker Wegzushgd oder Zushgd? (Wegushgd => Zushgd) Er wollte dann das Beispiel vom Skript hören: {x+i*sin(1/x)} und die Erklährung warum der Abschluss Zushgd aber nicht Wegzushgd.

Aussage Satz von Urysohn?

Was ist die Metrik auf dem Hilbertwürfel?

Warum induziert diese Metrik dieselbe Topologie wie die Produkttopologie?

Aussage Satz von Arzela-Ascoli?

Was geht schief wenn die Familie von Funktionen nicht GGS ist?

Ich war sehr nervös, konnte bei vielen Fragen nicht direckt Antworten oder wusste nicht genau was Professor Werner von mir wollte, er hat sich dann immer die Zeit genommen die Frage nochmal zu stellen und oft auch nocht einen Tipp zu geben.

Clemens, 29.08, 8:20-8:40

Def Zusammenhängender Raum

Produkt Zshgd Räume zshgd? Im endlichen Fall ja, beginne Beweis, Werner unterbricht.

Und im Unendlichen Fall? Stimmt auch, man kann es irgendwie auf den endlichen Fall zurückführen, ich wusste aber nicht wie.

Anwendung von Van Kampen: Werner zeichnet zwei Quadrate mit einer gemeinsamen Kante. Was ist die Fundamentalgruppe? Ich sage, man kann gleich argumentieren wie bei der Nummer 8 in der Vorlesung, denn ein Quadrat ist homöomorph zu einem Kreis. Dann zeichnete er ein Fenster, also ein Quadrat bestehend aus 4 Quadraten. Die Fundamentalgruppe findet man dann iterativ wieder mit Van Kampen.

Dann fragte er mich noch, wieso dieses Bild mit den zwei Quadraten nicht homöomorph zur Nummer 8 ist. (Bei der Nummer 8 gibt es einen Punkt, sodass der Raum ohne diesen Punkt nicht mehr wegzusammenhängend ist.)

Aussage vom Kriterium von Alexander?

Wie haben wir das gebraucht im Beweis von Tychonoff?

Aussage von Arzela-Ascoli?

Wie zeigt man, dass wenn A nicht GGS ist, dann A auch nicht kompakt ist? (Nur Hauptideen)

Aussage von Urysohns Metrisierbarkeitssatz?

Kennen Sie einen Raum, der nicht metrisierbar ist? (Z.B. ein Raum der nicht Hausdorff ist, denn jeder metrische Raum ist Hausdorff.)

Dann wollte er, dass ich trotzdem noch für ein unendliches Produkt von zshgd Räumen beweise, dass es zshgd ist. Er sagte, ich muss das nicht unbedingt können, er möchte jedoch sehen, wie ich an so etwas herangehen würde. Ich habe etwas probiert, bin nicht so richtig weitergekommen, und dann war die Zeit zu Ende.