Algebra - Richard Pink - 2016

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David, 29.08., 08:00-08:30

Zu Beginn durfte ich wählen zwischen Ringen, Körpern und Gruppen. Ich war unentschlossen, also hat er das Thema gewählt.

Symmetrische Polynome: Definition, mehrere Beispiele, Aussage des Hauptsatzes für symm. Poly., Def. Elementarsympoly, Anwendungsbeispiel des HS, Beispiel der Anwendung des HS für Diskriminante, ausserdem hat er mich hingewiesen dass die Isomorphie im HS eindeutig ist. Weiter: Konstruktion Diskriminante (hab ihm die Sylvmatrix und Resultante gezeigt), dann hat er mich noch gefragt wie man auf den (-1)^n*(n-1)/2 Faktor kommt (keine Ahnung), eine Eigenschaft der Resultante (teilerfremdheit der Polynome).

Dann: Wann kann man von Teilerfremdheit reden? Hab dann über den ggT in faktoriellen Ringen und in HIR geschwafelt, er wollte aber wissen wie man Teilerfremdheit mithilfe Ideale zeigt (bin mir nicht sicher aber ich glaub er meint damit dass die Summe der erzeugten Ideal der ganze Ring sind. Achtung, nicht dasselbe wie das Lemma im Chines. Restsatzbeweis, weil das funktioniert nur in HIR).

Weiter: Was ist eine auflösbare Gruppe? Beispiel? Gegenbeispiel? Hab ihm D4 und S5 gesagt, er wollte wissen wieso S5 nur A5 und 1 als Normalteiler hat, das konnte ich ihm aber nicht sagen. Dann Ordnung A5, und eine spezielle Eigenschaft: Wieso ist es die kleinste einfache nichtabelsche Gruppe bzw nichtauflösbar? Oder besser gesagt, wieso sind Gruppen kleinerer Ordnung auflösbar? Hab ihm gesagt dass wirs mit p-Sylow gezeigt haben. Def p-sylow, Aussage des Satzes. Er hat mich dann beim 4.ten Punkt unterbrochen da ich's gut konnte.

Def: Separable Körpererweiterung, ein Gegenbsp (Fp(X1^p,X2^p)/F(X1,X2)

Als letztes schrieb er mir das folgende Polynom hin: X^5-2*X-1 und fragte mich was ich dazu sagen konnte. Hab ihn dann gefragt in welchem Ring (Q), dann hab ich mal behauptet dass es irreduzibel ist und es in Z/2Z betrachtet. Hab dann von Eisenstein geredet, er hat mich die Aussage von Eisenstein gefragt, und weshalb man Eisenstein nicht in einem finiten Körper anwenden kann (da Körper keine Primelemente besitzen, hab ich aber verpeilt), und dann hat er mir noch einige Sachen erklärt, die mir über den Kopf gingen. Bei diesem Polynom war meine Hirnleistung fraglich. Ausserdem haben wir zu meinem Leidwesen viel zu viel Zeit damit verbracht, die Mysterien dieses Polynoms zu ergründen.

Er war sehr freundlich und hat sehr viel erklärt, auch Dinge die jetzt nicht direkt mit dem Gefragten zu tun hatten. Man konnte reden und/oder schreiben, je nachdem was schneller geht. Zwei Tipps: -Wenn er euch am Anfang wählen lässt, wählt unbedingt, sodass ihr nicht wie ich bei den Symmetrischen Poly/Res/Disk landet. -Ihr könnt ein kleines bisschen die Richtung bestimmen, also versucht so zu ntworten, dass ihr für mögliche Folgefragen bereit sind.

eleni 29.08., 08:30-09:00

Pink war ganz nett, ich dürfte auch auswählen mit was ich beginnen will. Ich habe Gruppen ausgewählt aber bis am ende hatte ich schon alles gehabt also noch Ringen und Körpern. ich habe eine Gruppe der Ordnung 98 bekommen und müsste sagen was ich darüber sagen kann. dann noch die sylowsätze, dann noch def von subnormalreihe, dann sind wir zur Ringen gegangen , was ein faktorring ist und wohldefiniertheit, , dann primideal und bsp, Nacher zur Körper was algebraisch, normal , separabel ist, dann hat er noch gefragt ob ich mich errinere den beweis dass jeder Körper eine alg Abscluss hat. und denn noch den Hauptsatz der Galloistheorie.

Andreas 29.08., 18:45-19:10

Nach der Legikontrolle hat Prof. Pink (P) sich zuerst für die Verspätung entschuldigt (Termin war um 18:00), danach durfte ich (I) wählen, womit wir anfangen. Habe mich für Gruppen entschieden. \\ P: Was ist eine einfache Gruppe? \\ I: Nenne die Definition. P: Was ist ein Normalteiler? I: Nehme die Definition gH = Hg für alle Gruppenelemente g. P: Warum ist das so definiert? I: Damit G/N eine Gruppenstruktur hat. Damit war er nicht zufrieden, nach etwas hin und her ist mir eingefallen, dass wir in ner Serie gezeigt haben, dass man auf beliebigen Mengen eine Gruppenstruktur definieren kann. Dann habe ich nachgeschoben, dass die Projektionsabbildung g -> gH ein Homomorphismus sein soll. Das wollte er ursprünglich hören und war zufrieden, ich konnte schnell noch "Homomorphismen induzieren Gruppenstruktur" unterbringen. P: Kennen Sie ein Beispiel einer unendlichen einfachen Gruppe? Ich denke laut über Z nach, verbessere mich aber gleich selbst und schreibe hin, dass Z keine Kompositionsreihe besitzt. Mir fiel aber nichts besseres ein, er hat mir dann PSL(2,K) genannt. Habe "falls K mehr als 3 Elemente hat" ergänzt und vielleicht noch etwas retten können. Da ich vorhin mit Kompositionsreihen und Z hantiert hatte, wollte er dann von mir die Aussage des Satzes von Jordan-Hölder wissen. Ich habe ihm den Satz von Schreier aufgesagt, er hat mich darauf hingewiesen, dann musste ich kurz überlegen und konnte so in etwa dann doch noch Jordan-Hölder zitieren. Was bedeutet äquvalent? Wusste ich nicht mehr, er hat mir zwei Komp.reihen aufgeschrieben, dazu ist mir aber nur wieder eingefallen (sic!), dass wir die gleiche Länge haben wollen. Daraufhin hat er mir die Definition gegeben. P: Welche Aussage braucht man zum Beweis der Sätze? I: Schmetterlingslemma, es macht eine Aussage über die Struktur von Untergruppen und normalen Untergruppen einer Gruppe. P: Und wie stehen die zueinander in Beziehung? I: Habe dann laut überlegt, dass womöglich die einen in den anderen enthalten sein müssen. P: "Das könne nicht funktionieren, sie müssen den Schnitt nehmen." I: Ah ok. P: Ringe? I: Ja ok. P: Was können Sie mir über den Ring Z/168Z sagen? I: Ich könnte den chin. Restsatz für teilerfremde Faktoren von 168 anwenden, dazu bräuchte ich aber die Primfaktorzerlegung. P: 168 = 3*7*8 I: Sage, dass dann Z/168Z isomorph zum kartesischen Produkt ist, schreibe aber versehentlich Gleichheit auf, nachdem er mich darauf hinweist, präzisiere ich auf Ringisomorphie. P: Wissen Sie, was mir an der Zahl 168 so gut gefällt? I: ... (WTF?) P: Was können sie über die Gruppe Z/168Z sagen? I: Ich überlege laut mit einfach, ausflösbar etc. rum, komme aber auf kein Resultat, richtig wäre "Zweitkleinste nichtabelsche einfache Gruppe" gewesen. (Das steht nicht mal in der Zusammenfassung?!!) Das war es komischerweise schon zu Ringen, jetzt also Körper. P: Können sie mir eine Körpererweiterung der Ordnung 28 konstruieren? I: Nehme eine 28. primitive Einheitswurzel und adjungiere sie zu Q. P: Warum hat das jetzt Ordnung 28? I: Ich schreibe hin: Galoisgruppe ist isomorph zur Einheitengruppe von Z/28Z. P: Warum ist das eine Galoiserweiterung? Ich zähle endlich, algebraisch, separabel, normal mit Definition auf und sage, dass wir einen Zerfällungskörper von x^28-1 haben. Er war zufrieden damit. P: Wie viele Elemente hat denn nun die Einheitengruppe von Z/28Z? I: Ich würde jetzt via Brute-Force alle kleineren zu 28 teilerfremden Zahlen zählen. P: Es gibt einen schnelleren Weg. Also zerlege ich, ohne Recht zu wissen, worauf er hinauswill, wieder mit chinesischem Restsatz: Z/28Z = Z/4Z x Z/7Z, starre kurz darauf ... Klick. I: Ich kann die Ordnungen multiplizieren und erhalte 2*6 = 12 Elemente. Prof. Pink erklärt, dass dafür Gruppenisomorphie nicht ausreicht, aber gerade weil wir Ringisomorphie hätten, würde der Trick funktionieren. P: Ist Z/28Z auflösbar? I: Falls es eine Subnormalreihe mit abelschen Subfaktoren gibt, ich versuche es mal mit den Sylowsätzen (weil wir die noch nicht hatten), überprüfe also die Voraussetzungen und fange an 2-Sylowgruppen zu zählen (28=2^2*7). P (Er unterbricht mich): Es ist meistens besser zuerst mit der größeren Primzahl zu beginnen. Dann zähle ich also 7-Sylowgruppen, es gibt nur eine, diese ist ein Normalteiler. Er nickt, ich schreibe eine Subnormalreihe aus G, P (die 7-Sylowgruppe) und 1 auf. Sage dann: Ordnung 7 => Primordnung => zyklisch => abelsch. P: Warum sind wir jetzt fertig? I: Das wusste ich, G/P hat Index 4 = 2^2 und jede Gruppe der Ordnung p^2 ist abelsch. P: Wie haben wir das bewiesen? I: Wir brauchen, dass jede p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat. P: Das stimmt nicht, die Gruppe darf nicht trivial sein, das dürfen sie nicht vergessen (sic!). I: Richtig, aber das haben wir hier ja auch nicht. P: Können sie mir jetzt eine Körpererweiterung der Ordnung 28 konstruieren? I: Jaa, nehme eine 29. Einheitswurzel, 29 ist prim, daher hat die Einheitengruppe 28 Elemente. P: Können sie mir Zwischenkörper konstruieren? I: Da würde ich zuerst versuchen Untergruppen zu bestimmen und dann den Hauptsatz der Galoistheorie anwenden. P: Dann sagen sie mir mal was über die Einheitengruppe von Z/29Z. I: Sie ist zyklisch. P: Warum? I: 29 ist prim und wegen Lagrange. P: Welche Untergruppen haben sie also damit? I: Solche, deren Ordnung 28 teilt. P: Schreiben sie mal die Gruppe anders hin. Ich schreibe sie als Erzeugnis eines Elements tau und beginne dann sofort alle anderen Untergruppen aufzuschreiben (alle zyklisch). Nachdem ich aufgehört habe, fragt er mich, ob ich fertig sei, es könnte ja noch andere zyklische Gruppen gleicher Ordnung geben (habe die ganze Gruppe und die triviale Gruppe nicht vergessen). Ich kam dann drauf, dass alle endlichen zyklischen Gruppen der Ordnung n isomorph zu Z/nZ sind, soll ich dass beweisen? P: Nein, wählen Sie jetzt eine Untergruppe und geben mir den Zwischenkörper an. I. Da nehme ich einfach die triviale Untergruppe, die korrespondiert mit der gesamten Galoiserweiterung. P: Das stimmt, nehmen sie jetzt noch eine andere Untergruppe außer die ganze Gruppe selbst. I. Ich wähle das Erzeugnis von tau^2 und bestimme mittels Hauptsatz den nötigen Körpergrad etc. P: Wir hatten mal ein allgemeinen Satz, wie man Zwischenkörper konstruiert ... Nachdem ich stumm blieb, entgegnete er in nicht zu deutendem Tonfall (Ironie oder Ernst?!): P: Nun, wir können das wahrscheinlich beide, können sie denn einen Erzeuger raten? I: Ich denke laut Q(zeta^2), wobei zeta primitive 29. Einheitswurzel ...? P: Nein, aber da haben Sie sich auch ein schweres Beispiel rausgesucht, der Erzeuger ist cos(2*pi/29) ... Moment nein, das stimmt ja gar nicht, versuchen sie mal zeta^1+zeta^2+...+zeta^14. Ich schaue ratlos (man geht wohl bis 14, da ich mir tau^2 rausgesucht habe und 28/2 = 14??). P: Ja, das hätte ich auch nicht von Ihnen verlangt , ich denke wir belassen es dabei und machen alle Feierabend.