Topologie - Wendelin Werner - 2016

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Lukas, 22.8., 9:20 - 9:40

Zuerst wird man vom Hauptassistenten und Professor Nelson begrüsst, der Hauptassistent schaut sich kurz die Legi an. Dann erklärt Prof. Nelson den Prüfungsmodus: Er stellt erst einmal einen Timer für 16 Minuten. Er wird drei Fragen stellen, also hat man etwa fünf Minuten Zeit pro Frage. Man kann auf Deutsch oder Englisch antworten, Prof. Nelson wird aber immer Englisch reden. Ich habe mich für Englisch entschieden. Die Fragen werden nicht mündlich gestellt, sondern Prof. Nelson legt ein Blatt hin, auf dem die Frage auf Deutsch und auf Englisch steht. Man schreibt auf ein weisses A3-Blatt.

Meine erste Frage war die fünfte Frage von der Liste, die vorher vom Hauptassistenten rumgeschickt wurde: Zeige, dass jeder kompakte Hausdorffraum normal ist. Ich beginne, indem ich zeige, dass solch ein Raum regulär ist. Nelson unterbricht mich, nachdem ich die offenen Mengen konstruiert habe, die einen Punkt von einer abgeschlossenen Menge trennen. Danach erkläre ich nur kurz, wie man damit zeigt, dass der Raum normal ist.

Meine zweite Frage ist die neunte Frage von der Liste: Die Zerlegung der Eins mit Beweisskizze. Ich vergesse an einer Stelle zu sagen, dass die Mengen, die ich gerade konstruiere, wieder eine Überdeckung sind, erkenne aber den Fehler selbst.

Meine dritte Frage war nicht von der Liste, und hatte zwei Teile:

a) Zeige, dass wenn \(C\) eine abzählbare Menge des \(\mathbb{R}^2\) ist, dann ist \(\mathbb{R}^2\setminus C\) zusammenhängend.

b) Zeige, dass der Rand einer nichtleeren, beschränkten, offenen Teilmenge \(U\) des \(\mathbb{R}^2\) nicht abzählbar ist.

Bei a) musste ich erst lange überlegen. Meine Idee war, zu zeigen, dass der Raum immernoch wegzusammenhängend ist. Ich habe erst etwas schwammig gesagt: Ich würde versuchen, erst eine direkte Verbindung zu testen, um zu sehen, ob sie "funktioniert", und die dann zu reparieren. Prof. Nelson fragt, wie ich im konkreten Fall vorgehen würde, dass wir alle Punkte, deren Koordinaten beide rational sind, rausnehmen. In diesem Fall würde ich nutzen, dass von zwei Punkten je mindestens eine Koordinate irrational ist, man kann also diese fixieren, und zu einem Punkt mit zwei irrationalen Koordinaten gehen, und dann parallel zu den Koordinatenachsen zum zweiten Punkt.

Die Aufgabe b) sollte ich aus a) herleiten, das ging dann nach ein bisschen nachdenken: Wenn der Rand abzählbar wäre, wäre nach a) der Raum \(\mathbb{R}^2 \setminus \partial U\) immer noch zusammenhängend. Da aber sowohl \(U\) als auch das Komplement des Abschlusses von \(U\) nichtleer (da \(U\) beschränkt) und offen, disjunkt sind, ist \(\mathbb{R}^2 \setminus \partial U\) sicher nicht zusammenhängend.

Danach war meine Prüfung vorbei, der Timer hat dann geklingelt, der Hauptassistent und Prof. Nelson haben sich verabschiedet und noch einen schönen Tag gewünscht.

Cecilia, 22.8., 10:40 - 11:00

Professor Nelson hat mich nur Fragen des "Fragenkatalogs" gestellt, nämlich Frage 2, Frage 17 und Frage 25.

Barbara, 22.8., 14:00 - 14:20

Professor Nelson hat mir die Fragen 3 (Zusammenhang), 9 (Zerlegung der Eins) und 25 (Arzela-Ascoli) aus dem Fragenkatalog gestellt. Danach fragte er nach dem Beweis von kompakt \( \Leftrightarrow \) total beschränkt und vollständig in metrischen Räumen. Ich blieb stecken, dann fragte er stattdessen, ob die punktweise Beschränktheit in Arzela-Ascoli notwendig ist.

Anna, 22.8., 16:00 - 16:20

Auch ich wurde hauptsächlich Fragen aus dem Fragenkatalog gestellt, nämlich Frage 3, Frage 19 und Frage 10 und 24 (wobei die letzten beiden Fragen zusammen waren).

Bei Frage 3 wollte er den ganzen Beweis sehen, bei Frage 19 aber nur die Aussagen ohne ein Beweis der Äquivalenz von \(X\) lokal kompakt Hausdorff genau dann wenn die Einpunktkompaktifizierung kompakt Hausdorff ist. Bei 10 und 24 machte er noch einen kurzen Abstecher zur Definition einer Basis, wie die von ihr erzeugte Topologie aussieht und wie man bestimmen kann, dass eine Menge von Teilmengen eine Basis bildet (Wenn für jedes \(x\) und jede Umgebung \(U\)von \(x\) es ein Element \(C\) aus der Menge gibt, so dass \(x \in C \subset U\)).

Dann fragte er mich nach der Aussage vom Urysohns Metrisierbarkeitssatz, fragte aber zuerst noch, wie man zeigen kann, dass eine n-Mannigfaltigkeit metriserbar ist. Hierfür verwendete ich dann den Metrisierbarkeitssatz und blieb aber ein wenig stecken gegen Schluss. In den letzen paar Sekunden fragte er mich dann nach der Beweisidee vom Metrisierbarkeitssatz.

Im Allgemeinen war die Atmosphäre sehr entspannt. Man kriegt einen Block Papier auf dem man draufschreiben kann und Prof. Nelson ist ziemlich nett und aufmerksam dabei. Man sollte darauf vorbereitet sein, dass er mal einen kurzen Abstecher macht, um zu sehen, ob man auch Details begriffen hat. Rumhacken tut er aber nicht.

Joel, 23.08., 08:00 - 08:20

Zuerst kam Frage 1 mit Beweis. Danach stellte er die Fragen 19 und 10, wollte bei beiden aber nur die Aussage und 1-2 Ideen zum Beweis hören. Was er wissen wollte, war dann folgendes: Was ist eine Mannigfaltigkeit? Ist sie metrisierbar? Wie geht der Beweis und an welcher Stelle benötigt man welche Bedingung der Mannigfaltigkeit respektive welchen Teil aus den Aussagen von 19 und 10 (penibel für jede Bedingung, aber informell). Zum Beispiel reichte ihm zu Normalität im Metrisierbarkeitssatz: Damit kann man Urysohn-Funktionen finden, deren Folge einen Homöomorphismus auf \([0,1]^{\ \mathbb{N}}\) bildet.

Er prüft sehr angenehm und hat eine gute Fragestellung, bei der man schnell erkennt, worauf er hinauswill.

Aline, 23.08., 08:40 - 09:00

Bei mir kamen genau die Fragen dran 1, 19 und 24 in Kombination mit 10 dran. Bei Frage 19 wollte Prof. Nelson auch die Definition von einer Umgebung (eine Menge, die den Punkt enthält und auch ihr Inneres enthält den Punkt). Er hat mich aber ziemlich schnell unterbrochen, nachdem ich alle Behauptungen und Bedingungen aufgeschrieben habe. Den Metrisierbarkeitssatz habe ich erst einmal aufgeschrieben. Ich habe gesagt, dass die Einpunktkompaktifizierung der n-Mannigfaltigkeit (auch diese Definition wollte er) alle Bedingungen des Metrisierbarkeitssatzes erfüllt und sie deshalb metrisierbar ist. Zu dem Beweis des Satzes habe ich eigentlich nur erzählt, dass man den Homöomorphismus braucht. Er wollte dann noch wissen warum man die Normalität fordert (damit man Urysohn anwenden kann). Die Zeit ging ziemlich schnell rum. Prof. Nelson ist sehr nett, ruhig und gibt gute Hilfestellung, wenn man nicht weiter kommt.

Vladimir, 23.08., 10:40-11:00

Bei mir kam genau das gleiche wie bei Joel und Aline. Ich weiss nicht mehr genau was davon in welcher Reihenfolge gefragt wurde, aber ich kann sagen dass Nelson ein sehr angenehmer Prüfer ist und einem Zeit zum überlegen gibt. Ist also nicht schlimm wenn man kreuz und quer argumentiert.

Nadir, 23.08., 11:20-11:40

Bei mir kamen die Fragen 1, 19, und 10/24 (zusammen) vor. Obwohl bei Frage 1 ich anfangs Probleme hatte, er hat mir Zeit gegeben um zu überlegen, und ich kam dann auf die Lösung. Folglich fragte er mich nach der Definition von von einer Metrik induzierten Topologie. Bei Frage 19 musste ich einfach die Definition geben, uns sagen ob \(\mathbb{R}\) lokal kompakt ist. Dann beim Metrisierbarkeitssatz und Mannigfaltigkeiten, konnte ich die Aussage vom Satz sagen, bzw. die Definition von Mannigfaltigkeit. Schlussendlich kam die Frage "Sind Mannigfaltigkeiten normal?", und da blieb ich stecken und habe zuerst "nein" geantwortet. Nachdem er mich nach einem Gegenbeispiel fragte, hatte ich Panik, aber am Ende kam die Frage "sind metrische Räume normal?" und da ich gesagt hatte, dass Mannigfaltigkeiten metrisierbar sind, konnte ich "ja" antworten.

Malte, 23.08., 13:20-13:40

Ich habe die Prüfung auf deutsch gehalten.

Zuerst: "E kompakt, Hausdorff normal?"

Danach: "Was ist die Fundamentalgruppe, was ist die Fundamentalgruppe von ner 8, nem punktierten Torus?".

Hier war ich mir nicht sicher wie argumentieren, dass die Kreise mit den Beinchen Fundamentalgruppe Pi haben.

Dann: "Für k-viele abg , disj Mengen A1,..,Ak in einem normalen Raum, gibt es eine Funktion nach [0,k] die auf A_i=i?"

Ja, habe mit Urysohns Lemma argumentiert, Tietze wäre einfacher.

"Was für unendlich viele?"

Neh, unendliche Vereinigung von abg Mengen kann Probleme geben. z.B. A_n={1/n}_n.

"Wenn ich ne Folge ohne konvergente Teilfolge habe, kann ich eine stetige, nicht beschränkte Funktion nach R finden?"

Da hab ich erst verpeilt dass das ne Anwendung von oben ist, hab durch Metrik zu teilen versucht, wurde dann darauf hingewiesen. Ich war mir nicht ganz sicher ob die Vereinigung der Punkte abgeschlossen ist. Wenn ja, geht Tietze.

"Hast du noch ne coole Frage?"

Wann sind unendlich dimensionale Vektorräume lokal kompakt? Anscheinend nie. (For those who wonder, that's the reason: [1] - admin.)

Moji, 23.08., 13:40-14:00

Ich habe die Prüfung auf englisch gemacht und wurde zuerst auch wie Malte gebeten, zu zeigen, dass kompakte, Hausdorff Raeume normal sind und danach auch Fundamentalgruppe von der Nummer 8 und vom punktierten Torus bestimmen; Zum Schluss hatte ich ebenfalls die Aufgabe mit den abg, disj. Mengen, jedoch stand ich da ein bisschen auf dem Schlauch mir wurde aber reichlich geholfen und dann war die Zeit auch schon wieder rum. Beide sind sehr angenehme Pruefer! :)