Topologie - Wendelin Werner - 2017

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Janosch, 23.08.16, 8:00-8:20

Ich war der Erste :-). Das Protokoll hat Andreas Wieser gemacht (stellt sich als Andreas vor). Herr Werner stellt einen 20' Timer und hat keine Fragen schriftlich vorbereitet, sondern überlegt sie sich im Moment. Sehr angenehme Prüfungsatmosphäre, auch wenn man zwischendurch Mühe hat. Man sitzt an einem runden Tisch rechts gegenüber Andreas, links gegenüber Herr Werner. Man sitzt mit dem Rücken zur Türe, dafür hat man eine schöne Aussicht über Zürich. Der Tisch ist verhältnismässig klein, respektive man sitzt nahe aufeinander.

Fragen (zu meiner Überraschung keine Definitionen zu Beginn):

A kompakt, f stetig: zeige f(A) kompakt

metrischer Raum: zeige kompakt \(\Rightarrow\) folgenkompakt

Definition Fundamentalgruppe und erklären der Operation in der Gruppe. Zeige Assoziativität der Operation.

Arzela-Ascoli: Aussage und eine Anwendung auf \(f_n:[0,1]\to[0,1]\), wo ich den Diagonaltrick hätte brauchen sollen, habe das aber nicht verstanden.

Satz von van Kampen: Aussage und Anfang des Beweises der ersten Aussage

Nicholas, 23.08.16, 8:20-8:40

Werner beginnt bei mir mit Beweisfragen. Zuerst: Zeige dass wenn \(f\) stetig ist, und \(A\subset E\) kompakt ist, dann ist auch \(f(A)\) kompakt. Musste ich nicht ganz beweisen, er unterbricht sobald er merkt, dass man es kann.

Danach beweise, dass in metrischen Räumen Kompaktheit Folgenkompaktheit impliziert (hier will er von mir zwei Varianten hören, zuerst wie es im Skript steht, und dann "direkt", im Prinzip wie bei der Folgenkompaktheit von \([0,1]\) (man spaltet es in immer kleiner werdende Intervalle auf..)).

Satz von Van Kampen. Aussage, dann Anwendung zuerst auf den Kreis, dann auf die liegende Acht, und wie man das iterativ weitermachen kann. Dann Fundamentalgruppe einer Sphäre (\(S^2\)), dann dies mit einem Punkt rausgeschnitten, dann mit zwei Punkten rausgeschnitten. Wie vorhin will er dann hören, dass dies iterativ fortführbar ist.

Dazwischen (er kommt danach wieder auf Fundamentalgruppen zurück) will er noch über den Satz von Alexander reden. Aussage, und in welchen Beweisen benutzen wir es.

Dann: Was besagt das Auswahlaxiom? Was gibt es für Varianten davon? Ist der Satz von Tychonoff äquivalent zum AC?

Atmosphäre ist sehr angenehm, Werner ist sehr freundlich. Er stellt liniertes Papier zur Verfügung, was mir persönlich viel lieber ist als kariertes.

Filippo, 23.08.16, 10:30-10:50

Was ist ein zusammenhängender Raum?

Ist das Bild von einer zusammenhängendes Raum unter einer stetigen Abbildung zusammenhängend? (Ja, mit Beweisidee)

Beispiele von Fundamentalgruppen

Gibt es nicht kommutative Fundamentalgruppe? ("Nummer 8")

Gibt es endliche Fundamentalgruppen? (Ja, Sphäre modulo Identifizierung antipodaler Punkten)

Was besagt Urysohn's Metrisierbarkeitssatz? Braucht man dafür das Auswahlaxiom? (Nur das abzählbare)

Was besagt der Satz von Arzela-Ascoli? (mit Beweisidee)

In welchem Teilgebiet der Mathematik ist der Satz von Arzela-Ascoli wichtig? (Funktionalanalysis)

Prof. Werner und der Assistent sind sehr nett. Wenn man etwas nicht ganz korrekt sagt, schüttelt der Assistent ein bisschen den Kopf, so dass man sich korrigieren kann.

Giulia, 28.08, 10:30-10:50

Was ist ein kompakter Raum?

Was ist das Produkt von 2 topologische Räume? (Def. von Produkttopologie)

Beweisidee von E1 und E2 kompakt => E1xE2 kompakt (ich habe es angefangen und gestoppt, Werner hat mir ein bisschen geholfen und dann habe ich nur zusammengefasst, was man eigentlich machen soll)

Van Kampen: nur die Aussage

Fundamentalgruppe des Torus? Fundamentalgruppe von 2 Tori mit einen gemeinsamen Punkt

Er hat mir gefragt, was ich über Überlagerungen sagen könnte aber darüber wusste ich nichts, ich habe es gesagt und er hat somit über Metrisierbarkeit gefragt:

Beispiel einer nicht-metrisierbarer Raum? Ist ein metrischer Raum immer Hausdorff?

Beispiel einer Hausdorff aber nicht metrisierbarer Raum?