Difference between revisions of "Topologie - Wendelin Werner - 2016"

Revision as of 08:14, 22 August 2016

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Lukas, 22.8., 9:20 - 9:40

Zuerst wird man vom Hauptassistenten und Professor Nelson begrüsst, der Hauptassistent schaut sich kurz die Legi an. Dann erklärt Prof. Nelson den Prüfungsmodus: Er stellt erst einmal einen Timer für 16 Minuten. Er wird drei Fragen stellen, also hat man etwa fünf Minuten Zeit pro Frage. Man kann auf Deutsch oder Englisch antworten, Prof. Nelson wird aber immer Englisch reden. Ich habe mich für Englisch entschieden. Die Fragen werden nicht mündlich gestellt, sondern Prof. Nelson legt ein Blatt hin, auf dem die Frage auf Deutsch und auf Englisch steht. Man schreibt auf ein weisses A3-Blatt. Meine erste Frage war die vierte Frage von der Liste, die vorher vom Hauptassistenten rumgeschickt wurde: Zeige, dass jeder kompakte Hausdorffraum normal ist. Ich beginne, indem ich zeige, dass solch ein Raum regulär ist. Nelson unterbricht mich, nachdem ich die offenen Mengen konstruiert habe, die einen Punkt von einer abgeschlossenen Menge trennen. Danach erkläre ich nur kurz, wie man damit zeigt, dass der Raum normal ist. Meine zweite Frage ist die 13. Frage von der Liste: Die Zerlegung der Eins mit Beweisskizze. Ich vergesse an einer Stelle zu sagen, dass die Mengen, die ich gerade konstruiere, wieder eine Überdeckung sind, erkenne aber den Fehler selbst. Meine dritte Frage war nicht von der Liste, und hatte zwei Teile: a) Zeige, dass wenn C eine abzählbare Menge des \mathbb{R}^2 ist, dann ist \mathbb{R}^2\setminus C zusammenhängend. b) Zeige, dass der Rand einer nichtleeren, beschränkten, offenen Teilmenge U des \mathbb{R}^2 nicht abzählbar ist. Bei a) musste ich erst lange überlegen. Meine Idee war, zu zeigen, dass der Raum immernoch wegzusammenhängend ist. Ich habe erst etwas schwammig gesagt: Ich würde versuchen, erst eine direkte Verbindung zu testen, um zu sehen, ob sie "funktioniert", und die dann zu reparieren. Prof. Nelson fragt, wie ich im konkreten Fall vorgehen würde, dass wir alle Punkte, deren Koordinaten beide rational sind, rausnehmen. In diesem Fall würde ich nutzen, dass von zwei Punkten je mindestens eine Koordinate irrational ist, man kann also diese fixieren, und zu einem Punkt mit zwei irrationalen Koordinaten gehen, und dann parallel zu den Koordinatenachsen zum zweiten Punkt. Die Aufgabe b) sollte ich aus a) herleiten, das ging dann nach ein bisschen nachdenken: Wenn der Rand abzählbar wäre, wäre nach a) der Raum \mathbb{R}^2 ohne den Rand von U immer noch zusammenhängend. Da aber sowohl U als auch das Komplement des Abschlusses von U nichtleer (da U beschränkt) und offen, disjunkt sind, ist \mathbb{R}^2 ohne den Rand von U sicher nicht zusammenhängend. Danach war meine Prüfung vorbei, der Timer hat dann geklingelt, der Hauptassistent und Prof. Nelson haben sich verabschiedet und noch einen schönen Tag gewünscht.