Difference between revisions of "Algebra - 2020"

Revision as of 14:04, 27 August 2020

Vivek, 17.08., 14:30 - 15:00

Mr. Steinmann let me in at 14:32 and the exam began at 14:35. Wearing a mask is optional and you can either write on a big black board or just answer out loud, Prof. Pink does not care. After overhearing me talking to myself in English Prof. Pink offered to conduct the exam in English. so I believe you also have the option to do the exam in English. He is very chill.

Algebra I:

• Definition of an integral domain, definition of a prime ideal. State and prove an equivalent definition of a prime ideal, namely: ideal \(I\) is prime iff \(A/I\) is an integral domain. (only had to show one direction (left to right))
• Give examples of prime- and non-prime ideals.
• Definition of a quotient field, the quotient field of \(\mathbb{Z}[i]\) and prove it is (isomorphic to) \(\mathbb{Q}(i)\)
• Definition of \(S_n\) and state all properties you know. (\(|S_n|=n!\), all finite groups are isomorphic to a subgroup of \(S_n\), for \(n\geq 5\), the only normal subgroups of \(S_n\) are \(S_n\), \(A_n\) and the trivial subgroup, \(S_n\) is solvable iff \(n\leq 4\)).
• Definition of a solvable group. Prove \(S_4\) is solvable. (My brain went brrr here and I blurted out the klein group is normal in \(S_4\) lol )
• Prove \(S_4/K_4\) is isomorphic to \(S_3\). (apparently we did this in lecture and even Mr. Steinmann was surprised, then Prof. Pink said "Ah, da hat jetzt auch Herr Steinmann etwas neues dazu gelernt", the statement is in page 45 btw)

Algebra II:

• Definition of algebraic closure, when does one exist? Idea of the proof.
• The algebraic closure of \(\mathbb{Q}\).
• Galois group of \(X^7+1\). (Again; brain went *windows shutdown sound* and could not see it is separable just like \(X^7-1\) but he let me work with \(X^7-1\) and its galois group is of course \((\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times\))
• Subfields of the Galois group. Construct them (I ran out of time here)

They spent 22 minutes on Algebra I and 8 minutes on Algebra II. They let you speak and you will(!) get interrupted if you make a tiny mistake. Prof. Pink also gives useful hints sometimes and if he sees that you understand the concept, he is nice enough to stop you and skips it. In general both of them are very friendly but I was still quite nervous. If you make mistakes like I did (klein group is normal in \(S_4\)), they guide you through it and allow you to correct yourself, which I found very nice. I recommend talking as fast as you can, Prof. Pink is a beast and understands everything you say at any rate.

Alice, 19.08., 8:30 - 9:00

• Was ist ein Polynom, ist \(X^3+Y^2\) reduzibel über K[X,Y], wieso haben wir nicht Polynome durch Funktionen definiert?. Definition von irreduzibel, von prim, wann impliziert das eine das andere. Beweis von prim impliziert irreduzibel. Beispiel von Faktorielle Ringe.
• Satz Lagrange, Beweis davon.
• Definition symmetrische Polynom, Hauptsatz.
• Was ist eine zyklische Gruppe
• Was kann man über eine Gruppe der Ordnung 28 sagen? existiert ein Körper dieser Ordnung?
• Hauptsatz der Galois Theorie (nur die bijektion).

Duri, 19.08., 11:30 - 12:00

Ich habe zu Beginn Ringe gewählt.

• Was ist ein Polynom? (Konstruktion Polynomring) Wieso ist das so definiert? Wieso unterscheiden wir Polynome von Polynomfunktionen?
• Was ist ein Symmetrisches Polynom? Hauptsatz? Beweis/Beweisidee? \(\sum_{i=1}^n X_i^3 \) in elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
• Was können sie mir zu \(K(X_1, ..., X_n)/K(S_1, ..., S_n)\) sagen? Wieso ist die Galoisgruppe davon \(S_n\)? Wann ist die Erweiterung auflösbar? Wieso ist \(S_n\) nur für \(n<4\) auflösbar? Beweis \(A_n\) für \(n\geq 5\) einfach.
• Hauptsatz der Galoistheorie aufsagen. Welcher Zwischenkörper gehört bei der obigen Erweiterung zu der Untergruppe \(A_n\)?

Danielle, 25.08., 13.00-13.30

• Chinesischen Restsatz aufsagen/-schreiben und beweisen
• Wie viele Gruppen der Ordnung 15 gibt es? Er geht aus meiner Antwort (zyklische Gruppe der Ordnung 15, semidirektes Produkt von Gruppen der Ordnung 3 und 5) zum semidirekten Produkt über: Definition vom semidirekten Produkt, Definition von Gruppenoperation, welche Eigenschaften müssen die Gruppenoperation und die Grupppen beim semidirekten Produkt zusätzlich haben (z.B. damit die Ordnung des semidirekten Produkts das Produkt der Ordnungen der Gruppen ist), was für konkrete Gruppenoperationen kommen in Frage, Automorphismen der Gruppen, wann ist das semidirekte Produkt kommutativ? (hier war auch in den Serien erarbeitete Theorie gefragt)
• Sylowsätze, Anwendung auf Gruppe der Ordnung 15, zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 15 abelsch ist
• Galoisgruppe von \(X^4-14\), zeige, dass sie auflösbar ist (ohne sie zu bestimmen; anhand des Polynoms). Beweise: L=K[A]/K separabel <=> A ist über K separabel

Jonathan, 27.08., 14:30-15:00

Der Assistent lässt mich zehn Minuten früher rein. Nachteil: Pink isst noch. Der Assistent beginnt:

• Assistent: Was ist Ihnen am liebsten?
• Ich: Ringe
• A: Was ist die Einheitengruppe eines Polynomrings.
• Ich definiere Einheitengruppe eines Rings. Schaue stolz in den Raum.
• A: Ich hatte für einen Polynomring gefragt.
• I: \(R[X]^*=R^*\)
• A: Können Sie das beweisen?
• Ich fange mit der einfachen Richtung an.
• Pink: Das ist okay, Können Sie die andere zeigen?
• Ich fange damit an. Bekomme irgendwann Probleme.
• I: Jetzt geht es nicht mehr weiter, weil es kein Int'Bereich ist.
• P: Nehmen Sie das mal an.
• Ich beende den Beweis.
• P: Allgemeiner Ring?
• I: Sollte immer noch gehen...
• P: Was für nicht Int'Berieche kennen Sie?
• I: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) für \(n\) nicht prim.
• P: Ein konkretes Beispiel?
• I: \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)
• P: Ok betrachten Sie mal \(1+2X\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[X]\)
• Ich betrachte...
• P: Quadrieren Sie!
• Ich quadriere. Oha! 1 kommt raus.
• P: Definieren Sie formelle Potenzreihen.
• Ich definiere.
• P: Davon die Einheitengruppe.
• I: Das ist \(\{a+Xf: a \in R^* f\in R[ [X] ]\}\).
• P: Beweisen Sie!
• Ich beweise \(R[ [X] ]^*\subseteq\{a+Xf: a \in R^* f\in R[ [X] ]\}\)
• Ich beweise mehr oder weniger die Umkehrrichtung ohne eine Formel fürs Inverse zu bekommen.
• P: Okay, tun Sie mal so als würden wir Analysis machen. Reduzieren sie auf den Fall \(a=1\)
• Ich finde \((1+Xf)^{-1}=\sum_{i=0}^\infty (-Xf)^{-1}\)
• P: Definieren Sie algebraische Körpererweiterung.
• Ich beginne mit der Definition von algebraischem Abschluss, stoppe in der Mitte und definiere algebraische Körpererweiterung und algebraische Elemente.
• P: Nennen Sie eine algebraische Körpererweiterung!
• I: Klar... Ääähhh \(\mathbb{C}/\mathbb{R}\)
• P: Was sagt die Galoistheorie darüber.
• I: Es ist galoissch, weil Zerfellungskörper von \(X^2+1\). Galoisgruppe vom Grad 2 also \(C_2\).
• Pink merkt, dass ich ein dummes Beispiel gewählt habe: Zurück zum algebraischen Abschluss. Können Sie den definieren?
• Ich kann und tue.
• P: Einen algebraischen Abschluss von \(\mathbb{Q}\) definieren.
• I: Einer ist \(\bar{\mathbb{Q}}:=\{x\in\mathbb{C}: x\text{ algebraisch über }\mathbb{Q}\}\).
• P: Beweisen Sie das!
• I: Es ist klar, dass es algebraisch ist.
• P: Warum ist es ein Körper?
• Ich denke ein bisschen und mache den Trick:
• Es gilt \(\bar{\mathbb{Q}}\subseteq \mathbb{Q}(\bar{\mathbb{Q}})\) weil \(K(A)/K\) genau dann algebraisch ist, wenn jedes Element in A algebraisch ist, folgt \(\mathbb{Q}(\bar{\mathbb{Q}})\subseteq \bar{\mathbb{Q}}\). Damit sind wir fertig.
• Pink lacht. Ich bekomme Angst.
• P: Das ist frech. Aber ich finde es gut, wenn Studenten frech sind. Sätze sind da um benutzt zu werden. Beweisen Sie noch, dass dieser Körper algebraisch abgeschlossen ist.
• Ich will beginnen, merke aber, dass \(\bar{\mathbb{Q}}\) eine schlechte Notation ist und bemerke das.
• P: Jetzt geht's ja schon, weil Sie gezeigt haben, dass \(\bar{\mathbb{Q}}\) ein Körper ist.
• I: Aber \(\bar{\mathbb{Q}}\) ist die Notation für einen algebraischen Abschluss von \(\mathbb{Q}\), was ja noch nicht klar ist.
• P: Okay.
• Ich definiere \(K:=\{x\in\mathbb{C}: x\text{ algebraisch über }\mathbb{Q}\}\). Nehme ein Polynom \(f\in K[X]\). Schreibe es als \(f=a(X-a_i)\in \bar{K}[X]\).
• P: Ähm... Entschuldigung.
• Ich korrigiere zu \(f=a\prod_{i=1}^n(X-a_i)\)
• I: Mit einem induktiven Argument können wir zeigen, dass es genügt, dass \(a_1\in K\) gilt.
• Ich erläutere ein wenig dieses Argument.
• Dann sage ich, weil \(K(a_1)/K\) und \(K/\mathbb{Q}\) beide algebraisch sind, ist \(K(a_1)/\mathbb{Q}\) algebraisch und somit \(a_1\in K\}.
• P: Zeigen Sie diese Proposition.
• Ich will die Tafel wischen. Zum einen weil kein Platz mehr da ist zum anderen weil ich Zeit gewinnen will.
• P: Zwängen Sie es sonst wo hin. Die Zeit drängt.
• Ich zeige die Proposition, indem ich brauche, dass eine Körpererweierung endlich ist genau dann, wenn sie algebraisch und endlich erzeugt ist.
• Der Assistent nickt Professor Pink zu. Dieser sagt: Zeit ist um. Jetzt haben wir keine Zeit für Gruppen gehabt. Ist aber schon gut so.