Mass und Integral - 2018

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Emie, 20.08.2018, 13:15-13:30

• Lebesguemass

Alle Eigenschaften

Beweis Eigenschaft 4 (Was sind diadische Quader? Wie überdeckt man?), Konstante bei der linearen Abbildung (Betrag Determinante)

• Absolut stetig

Definition absolut stetig, singulär

Aussage Lebesgue-Radon-Nikodym und Beweis von 6.8i)

(hier konnte ich nicht alles mega genau machen, weil die Zeit nicht reicht. Aber er hat mich nicht unterbrochen und ich habe den Beweis bis zur Konstruktion von den Mengen A und B gemacht)

Beweis 6.7

Paul Maunoir, 20.08.2018, 11:45-12:00

• Hausdorff Mass

-Definition Hausdorff Mass

-Frage von Lang : Wieso konvergiert der Limes in der Definition von Hausdorff Mass? Das habe ich wörtlich erklärt.

- 4 Eigenschaften des Hausdorff-Masse

-Frage von Lang : Wie zeigt man dass das n-dimensionales Hausdorff-Mass gleich das äusseres Leb-Mass mal eine Normierung ist ? Ich have kurz erklärt wieso das H-Mass translation Invariant, endlich auf kompakte Mengen und Borel-reguläres ist ist und wieso wir dann fertig sind.

-Frage von Lang : Wie ist die Hausdorff-Dimension definiert und Beispiel einer Menge mit nicht ganzzahlige Hausdorff-dim . Ich have die Definition kurz aufgeschrieben und das Sierpinski triangle erwähnt.

-Frage von Lang : Wieso ist eine Hn-messbare Menge von Rn under eine Lipschitz Abbildung immer noch messbar. Ich habe hier das standard Argument benutzt also mit der Existenz einer F-Menge die man als Vereinigung von compacted Menge darstellen kann und die Vollständigkeit von Hausdorff Mass.

• Produkt Mass

-Definition von Produkt-sigma -Algebra

-Teil 1 von Fubini

-Frage von Lang : Un-Beispiel für Fubini. Ich habe dann das Beispiel mit Lebesgue, Zählmass und der Diagonale erwähnt

• Dichte Funktion

-Frage von Lang : Für E eine messbare Menge in Rn wieso existiert die Dichte fü ? Ich habe hier vergessen dass E nicht unbedingt endlicher Mass haben muss und habe mit 7.8 argumentiert mit f=charfkt(E);

Berno Binkert, 20.08.2018, 10:45-11:00

• Lebesgue Integral

Ich sollte das Lebesgue Integral definieren, wir haben über den unterschied für eine positive Funktion und eine reelle Funktion Gesprochen. Professor Lang wollte immer sehr genau die Voraussetzungen hören, womit ich "viel" Zeit verloren habe. Dann haben wir uns auch noch über die Approximation von messbaren Funktionen durch Treppenfunktionen (1.12) unterhalten.

Dann hat Professor Lang besorgt auf die Uhr geschaut, und das Thema gewechselt

• Jensen Ungleichung

Ich sollte ihm zuerst 'mal die Jensen Ungleichung aufschreiben. Wir sind wieder durch alle Voraussetzungen gegangen (\(\\mu, f, \varphi, ... \). Dann hat er mich gefragt ob ich die Ungleichung zwischen Arithmetischem und Geometrischen Mittel Beweisen könnte.

Ich habe in keiner Weise das Bild vermitteln wollen das ich es könnte, und habe einfach gesagt was mir dazu einfällt. Wir haben das Thema leider nicht gewechselt und ich habe dann halt gestresst versucht die Aufgabe zu lösen.

• Fazit

Es herrschte ein sehr angenehmes Klima, Professor Lang hat einem in die Augen geschaut wenn er mit einem redet, und die Fragen so präzise formuliert, das es meistens klar war was die richtige Antwort sein würde. Insgesamt habe ich mich aber immer gefühlt wie in der Mass und Integral Nachhilfe, ich weiss nicht ob das etwas Gutes ist :D

Joël, 17.08.2018, 11:45-12:00

• Radonmasse:

Definition, Approximationseigenschaften mit Beweis von 4.3 (2); Als ich den Punkt der Definition erwähnte, dass das Mass auf Kompakta endlich sein muss, meinte er, dass dies ja insbesondere heisst, dass kompakte Mengen messbar sein müssen. Weshalb ist dies garantiert? Antwort war, dass in einem Hausdorff-Raum kompakte Mengen abgeschlossen und somit Borelmengen sind. Schliesslich gab er mir die Aufgabe, für \(f: X \to \mathbb{R}\) mit \((X, \mu)\) einem lokalkompakten Hausdorffraum mit Radonmass \(\mu\) und \(f\) nur auf einer Menge \(A\) mit endlichem Mass ungleich null eine Funktionenfolge zu finden, deren Glieder alle in \(C_c(X)\) sind und welche fast überall gegen \(f\) konvergiert. Man verwendet Lusin und wähle \(g_n\) so, dass \(\mu\left(\{x \mid f(x) \neq g_n(x)\}\right) < 2^{-n}\).

• Absolute Stetigkeit von Massen:

Definition, weshalb der Begriff "Stetigkeit" (Satz 6.9), Aussage von Radon-Nikodym; Frage zum ersten Teil des Beweises, nämlich zur Funktion \(0 < w < 1\) mit \(w \in L^1(\mu)\), wie denn dieses \(w\) erhält. Zum Schluss fragte er mich, ob ich beweisen könne, dass eine lipschitzstetige Funktion fast überall differenzierbar ist. Ich bin dann auf den offenbar richtigen Schluss gekommen, dass man zeigen muss, dass \(f\) absolut stetig ist, da dann mit dem Hauptsatz die Existenz von \(f'\) fast überall folgt, aber dann war die Zeit auch schon um.

Alles in allem eigentlich ziemlich dasselbe wie bei Laura.

Laura, 17.08.2018, 11:30-11:45

- Radon Masse:

Definition & wieso sind kompakte Mengen messbar

Approximationseigenschaften (Aussage ohne sigma kompakt) Beweis von 2

Aufgabe zur Konvergenz von Funktionenfolge mit Radonmassen (aus Serie) , mit Aussage von Lusin

-Absolute Stetigkeit:

Definition

Satz 6.9

Lebesgue Radon Nikodym Aussage

Beweis von w in Radon Nikodym

Sehr angenehme Atmosphäre, aber Lang möchte nicht alle Beweise hören, die man vorschlägt.

Michael, 17.08.2018, 11:00-11:15

- Lp-Räume: Ich sollte einfach alles sagen, was ich dazu weiss. (Definition: Lp-Norm,esssup, Sätze: Minkowski, und Cc dicht in Lp da fragt er nach was brauchen wir dafür (Beweisschritte), Beispiel für Lp in Lq (Zählmass))

- Hauptsatz Integration und Differentialrechnung + Beweisidee (Definiton Totalevariation, wie haben wir das Verwendet, 7.12/13/14)

Während den Beweisideen war die Zeit fertig. Die Prüfung ist angenehm, man kann inerhalb des Themas steuern und er hilft wenn man unsicher ist.

Patrik, 17.08.2018, 9:45-10:00

- Definition Lebesgue-Integral

- Satz 1.12 mit Beweisskizze

- Satz 5.1 ohne Beweis

- Definition absolute Stetigkeit

-Satz 7.15 mit Beweisskizze

Benjamin, 17.08.2018

• Eigenschaften des Lebesgue-Maßes

Aufzählung der Eigenschaften und Beweis der Tatsache, dass Bilder messbarer Mengen unter linearen Abbildungen wieder messbar sind.

• Differentiation von Maßen

-Definition, wichtige Eigenschaften (Beweis, dass die symmetrische Ableitung f.ü. die RN-Ableitung ist

-Definition des Maximaloperators, Beweisidee für die Abschätzung und 3r-Überdeckung

• Produkträume

-Definition Produktmaß und Produktalgebra ("warum ist das ein Maß?")

-"Un"-Besipiel für Fubini

Frederik, 15.08.2018, 16:00-16:15

• Hausdorff-Masse

- Definition, warum existiert der limes

- Eigenschaften, Beweisidee für 1 und 3. Für 4, warum ist f(A) Hausdorff messbar

- Hausdorff Dimension, Beispiel nicht ganzzahlige H-dimension. Beispiele für Mengen mit H-Mass undendlich und null für beliebiges s.

• Produkträume

- Definition von Produktalgebra und Produktmass

- Satz von Fubini, ohne Beweis, dann war die Zeit um

Helena, 15.08.2018, 15:30-15:45

• Radon-Masse

- Definition

- Beispiel

- Satz 4.3

- Satz 4.4, Beweis von (2)

- Darstellungssatz von Riesz, Beweis der Eindeutigkeit des Radon-Masses

• Differentiation

- Satz 7.11

- Satz 7.15, mit Beweisidee

Carlo, 15.08.2018, 14:30-14:45

• Lp-Räume

Hier hat er keine konkrete Frage gestellt sondern mich einfach reden lassen. Ich habe zuerst die Definitionen (p<inf, p=inf) hingeschrieben, und dann gesagt, dass man wenn man Äquivalenzklassen betrachtet, einen vollständigen normierten Vektorraum erhält. Darauf hat er mich gefragt, wie man die Dreiecksungleichung erhält, und ich habe dann für 1<p<inf Minkowski hingeschrieben, und die anderen Fälle kurz angetönt. Dann fragte er mich ob ich sonst noch etwas wisse, die Antwort darauf war, dass wenn wir einen lokal-kompakten Hausdorff-Raum mit einem Radon-Mass haben, Cc(X) dicht in Lp ist für p<inf.

• Differentiation

Zunächst liess er mich das Überdeckungslemma beweisen. Danach fragte er mich, welches einer der wichtigsten Sätze in diesem Kapitel war und ich sagte, die Charakterisierung absolut stetiger Funktionen. Er meinte aber den Satz von Lebesgue über Lebesgue-Punkte. Er fragte mich, ob ich weiss wie man ihn beweist, und ich habe dann zunächst gesagt, dass der Beweis verwendet, dass Cc(Rk) dicht in Lp(Rk) liegt, und dann versucht den Beginn des Beweises hinzuschreiben. Dann erwähnte er noch, dass man eine Abschätzung mit der Maximalfunktion verwendet, und ich habe die entsprechende Abschätzung hingeschrieben, diese verwendet ja das Überdeckungslemma. Dann war die Zeit schon vorbei.

Niko, 15.08.2018, 13:15-13:30

• Lebesgue-Mass

-Konstruktion (Mittels Carathéodory-Hahn)

-Def.: Prämass (Achtung, Lang hat das Skript dort noch geändert Anfang letzten Monat)

-Aussage Satz 3.3 (3) (Eindeutigkeit)

-Eigenschaften des Lebesgue-Masses (sehr auf 3.11 (4) eingegangen)

• Lebesgue-Radon-Nikodym

-Def.: absolut stetig für Masse

-Satz Lebesgue-Radon-Nikodym (6.8) (Nur Aussage, ohne Beweis)

-Eindeutigkeit der Ableitung h (Äquivalenzklasse in L^1(μ))

Raphael, 15.08.2018, 11:45-12:00

• Hausdorffmass

-Definition

-Eigenschaften 1-4 Argument für 1 und 3

-Bsp Menge mit H-mass 0, und eine mit unendlich

-Hausdorffdimension def

-Graph + Bsp mit Hdim keiner ganzen Zahl -Cantormenge

• Hauptsatz der Differentialrechnung

-7.15

-def Totaler Variation + Satz

Beat, 15.08.2018, 11:15-11:30

• Konstruktion von Massen

Zuerst musste ich erklären wie man aus einem äusseren Mass ein Mass konstruiert. Danach sollte ich erklären, wie man aus einem normalen Mass ein äusseres Mass konstruieren kann. Zuletzt musste ich noch den Satz zur Konstruktion von Massen aus Prämassen aufschreiben. In diesem Abschnitt wurde ich nicht nach Beweisen gefragt.

• Differentiation

Dann wurde ich nach der Differentiation von Massen gefragt. Ich habe die Definition der symmetrischen Ableitung und der Maximalfunktion eines Masses aufgeschrieben. Er hat mich dann nach der 3r-Überdeckung gefragt, die musste ich dann auch beweisen. Dann hat er mich noch nach Lebesgue-Punkten gefragt, ich habe ihm dann gesagt, dass bei einer L1-Funktion fast alle Punkte Lebesgue-Punkte sind. Von dem wollte er dann auch den Beweis hören, aber die Zeit reichte nicht mehr.

Raphaël, 15.08.2018, 11:00-11:15

• Konstruktion von Massen:

-Aussage des Satzes von Carathéodory und des Erweiterungssatzes

• Differentiation:

-Definition der symmetrischen Ableitung

-3r Überdeckung mit Beweis

-Definition des Lebesguepunktes

-Satz über Lebesguepunkte mit Beweisidee (insb. C_c (X) dicht in L^p)

Erik, 15.08.2018, 9:30-9:45

• Hausdorff-Masse: Definition
• Aufzählung der vier Eigenschaften, die wir gezeigt haben
• Beweisidee für die erste Eigenschaft: Hier wollte er nur Carathéodorys Kriterium hören, der Beweis der zweiten Eigenschaft von Borel-Regularität sei “zu technisch”.
• Beweisidee für die dritte Eigenschaft: Die Bedingungen für die “Eindeutigkeit” des äusseren Lebesgue-Masses waren genug.
• Beispiel für eine Menge mit nicht-ganzzahliger Hausdorff-Dimension (ohne Erklärung)
• Themawechsel: Definition “absolut stetig”
• Aussage von Lebesgue-Radon-Nikodym
• An dieser Stelle hat Professor Lang vorsichtig gefragt, ob ich mich an eine Beweisidee erinnern würde: Er machte also nicht den Eindruck, als ob er wirklich den Beweis hören wollte, ich habe mich aber umgehend in einer ganzen Reihe von Details verstrickt und wurde auch nicht mehr unterbrochen. Natürlich war die Prüfung um, bevor ich auch nur ansatzweise alles zu Ende bringen konnte.

Professor Lang hatte gute Laune (“Der nächste Patient, bitte!”) und ich kann die angenehme Prüfungsatmosphäre bei ihm nur bestätigen.

Marc, 15.08.2018, 9:15-9:30

• Lebesguemaß: Konstruktion, Eigenschaften. Hier hat er mich größtenteils frei reden lassen
• Lebesguemass Eigenschaft 4 und Geometrischer Ansatz des Beweises.

• Lp-Räume: Konstruktion, Eigenschaften. Wieder konnte ich frei erzählen.
• Dann waren nur noch 2 Minuten Zeit (Lang hat Hauptassistent nach Zeit gefragt)
• Letzte Frage: Inklusionseigenschaft von Lp

Beide waren freundlich drauf, Hauptassistent schreibt wenig auf und nickt, wenn man etwas richtiges sagt.

Richard, 13.08.2018, 15:30-15:45

Anscheinend wirklich haargenau das gleiche wie bei Leon lol

Leon, 13.08.2018, 14:00-14:15

Topics:

• Hausdorff-Masse/ Hausdorff-Dimension

  -Definition
  -Eigenschaften
  - Beispiel einer Menge mit unendlichem Hausdorff-Mass.
  -Verhalten unter Lipschitz-Abbildungen

• Menge A in R^n messbar bez. n-dim Hausdorff-Mass. f: R^n->(Y,d_Y) Lipschitz. Warum ist f(A) H^n- messbar?

• Absolute Stetigkeit von Massen, Lebesgue-Zerlegung und Radon-Nykodin Ableitung: Aussage + kurze Beweisskizze da kaum noch Zeit

Bei Prof. Lang ist die Prüfung sehr angenehm. Er lässt dich sehr viel reden und wenn er merkt, dass du irgendwo stockst, hilft er dir. Grundsätzlich sind seine Fragen sehr offen, wie zum Beispiel: "Was können sie mir über das Hausdorff-Mass erzählen?" Wenn er etwas genauer wissen möchte hakt er nach.