Mass und Integral - 2018

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Helena, 15.08.2018, 15:30-15:45

• Radon-Masse

- Definition

- Beispiel

- Satz 4.3

- Satz 4.4, Beweis von (2)

- Darstellungssatz von Riesz, Beweis der Eindeutigkeit des Radon-Masses

• Differentiation

- Satz 7.11

- Satz 7.15, mit Beweisidee

Carlo, 15.08.2018, 14:30-14:45

• Lp-Räume

Hier hat er keine konkrete Frage gestellt sondern mich einfach reden lassen. Ich habe zuerst die Definitionen (p<inf, p=inf) hingeschrieben, und dann gesagt, dass man wenn man Äquivalenzklassen betrachtet, einen vollständigen normierten Vektorraum erhält. Darauf hat er mich gefragt, wie man die Dreiecksungleichung erhält, und ich habe dann für 1<p<inf Minkowski hingeschrieben, und die anderen Fälle kurz angetönt. Dann fragte er mich ob ich sonst noch etwas wisse, die Antwort darauf war, dass wenn wir einen lokal-kompakten Hausdorff-Raum mit einem Radon-Mass haben, Cc(X) dicht in Lp ist für p<inf.

• Differentiation

Zunächst liess er mich das Überdeckungslemma beweisen. Danach fragte er mich, welches einer der wichtigsten Sätze in diesem Kapitel war und ich sagte, die Charakterisierung absolut stetiger Funktionen. Er meinte aber den Satz von Lebesgue über Lebesgue-Punkte. Er fragte mich, ob ich weiss wie man ihn beweist, und ich habe dann zunächst gesagt, dass der Beweis verwendet, dass Cc(Rk) dicht in Lp(Rk) liegt, und dann versucht den Beginn des Beweises hinzuschreiben. Dann erwähnte er noch, dass man eine Abschätzung mit der Maximalfunktion verwendet, und ich habe die entsprechende Abschätzung hingeschrieben, diese verwendet ja das Überdeckungslemma. Dann war die Zeit schon vorbei.

Raphael, 15.08.2018, 11:45-12:00

• Hausdorffmass

-Definition

-Eigenschaften 1-4 Argument für 1 und 3

-Bsp Menge mit H-mass 0, und eine mit unendlich

-Hausdorffdimension def

-Graph + Bsp mit Hdim keiner ganzen Zahl -Cantormenge

• Hauptsatz der Differentialrechnung

-7.15

-def Totaler Variation + Satz

Raphaël, 15.08.2018, 11:00-11:15

• Konstruktion von Massen:

-Aussage des Satzes von Carathéodory und des Erweiterungssatzes

• Differentiation:

-Definition der symmetrischen Ableitung

-3r Überdeckung mit Beweis

-Definition des Lebesguepunktes

-Satz über Lebesguepunkte mit Beweisidee (insb. C_c (X) dicht in L^p)

Erik, 15.08.2018, 9:30-9:45

• Hausdorff-Masse: Definition
• Aufzählung der vier Eigenschaften, die wir gezeigt haben
• Beweisidee für die erste Eigenschaft: Hier wollte er nur Carathéodorys Kriterium hören, der Beweis der zweiten Eigenschaft von Borel-Regularität sei “zu technisch”.
• Beweisidee für die dritte Eigenschaft: Die Bedingungen für die “Eindeutigkeit” des äusseren Lebesgue-Masses waren genug.
• Beispiel für eine Menge mit nicht-ganzzahliger Hausdorff-Dimension (ohne Erklärung)
• Themawechsel: Definition “absolut stetig”
• Aussage von Lebesgue-Radon-Nikodym
• An dieser Stelle hat Professor Lang vorsichtig gefragt, ob ich mich an eine Beweisidee erinnern würde: Er machte also nicht den Eindruck, als ob er wirklich den Beweis hören wollte, ich habe mich aber umgehend in einer ganzen Reihe von Details verstrickt und wurde auch nicht mehr unterbrochen. Natürlich war die Prüfung um, bevor ich auch nur ansatzweise alles zu Ende bringen konnte.

Professor Lang hatte gute Laune (“Der nächste Patient, bitte!”) und ich kann die angenehme Prüfungsatmosphäre bei ihm nur bestätigen.

Marc, 15.08.2018, 9:15-9:30

• Lebesguemaß: Konstruktion, Eigenschaften. Hier hat er mich größtenteils frei reden lassen
• Lebesguemass Eigenschaft 4 und Geometrischer Ansatz des Beweises.

• Lp-Räume: Konstruktion, Eigenschaften. Wieder konnte ich frei erzählen.
• Dann waren nur noch 2 Minuten Zeit (Lang hat Hauptassistent nach Zeit gefragt)
• Letzte Frage: Inklusionseigenschaft von Lp

Beide waren freundlich drauf, Hauptassistent schreibt wenig auf und nickt, wenn man etwas richtiges sagt.

Richard, 13.08.2018, 15:30-15:45

Anscheinend wirklich haargenau das gleiche wie bei Leon lol

Leon, 13.08.2018, 14:00-14:15

Topics:

• Hausdorff-Masse/ Hausdorff-Dimension

  -Definition
  -Eigenschaften
  - Beispiel einer Menge mit unendlichem Hausdorff-Mass.
  -Verhalten unter Lipschitz-Abbildungen

• Menge A in R^n messbar bez. n-dim Hausdorff-Mass. f: R^n->(Y,d_Y) Lipschitz. Warum ist f(A) H^n- messbar?

• Absolute Stetigkeit von Massen, Lebesgue-Zerlegung und Radon-Nykodin Ableitung: Aussage + kurze Beweisskizze da kaum noch Zeit

Bei Prof. Lang ist die Prüfung sehr angenehm. Er lässt dich sehr viel reden und wenn er merkt, dass du irgendwo stockst, hilft er dir. Grundsätzlich sind seine Fragen sehr offen, wie zum Beispiel: "Was können sie mir über das Hausdorff-Mass erzählen?" Wenn er etwas genauer wissen möchte hakt er nach.