Topologie - Theo Bühler - 2015

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21.08.2015, 14:10 Uhr, Alessandro

Zuerst musste ich beweisen, dass metrische Räume normal sind; ich schrieb also hin \( \frac{d_{F_0}}{d_{F_0} + d_{F_1}} \) für \( F_0 \) und \( F_1 \) abgeschlossen, disjunkt und Urysohns Lemma. Wollte wissen, warum \( d_F \) stetig ist. Weiter dann mit: "Kennst du einen Raum, der normal ist, aber nicht metrisch?" Ich erwähnte die Sorgenfrey-Gerade und musste mit Lindelöfsch und regulär begründen, dass diese normal ist. Dazwischen noch irgendwann (ich kann es nicht mehr recht in den Zeitablauf einordnen, er hat's aber gefragt): Was weisst du über Trennungsaxiome und Kompaktheit? und weil er das schon tausendmal vor mir gefragt hat, sage ich: \( X \) ist normal, wenn \( T_2 \) und kompakt. Darauf ging er aber nicht gross ein. Dann noch zeigen, dass die Sorgenfrey-Ebene eben nicht normal ist, darum die Sorgenfrey-Gerade auch nicht metrisch. Schliesslich noch Funktionenräume: Definiere eine schlaue Topologie auf \( C(X, Y) \) und wieso ist \( C(X, Y) \times C(Y, Z) \rightarrow C(X, Z) \) stetig, wenn \( Y \) lokalkompakt ist. Dann noch der Beweis von Arzela-Ascoli mit Hinweisen auf die Lemmata vorhin.

21.08.2015, 11:10 Uhr, Aline

Bühler wollte mit Funktionenräumen anfangen, aber ich konnte gar nichts sagen. Dann hat er gleich zu Trennungsaxiomen gewechselt. Er hat keine konkrete Frage gestellt, deshalb habe ich erst mal mit der Definition von T0 angefangen. Dann kamen wir zu den Definitionen von T1 und T2. Er wollte als nächstes Beispiele für T0 aber nicht T1 und T1 aber nicht T2. Ich habe den Sierpinskiraum und Z mit der cofiniten Topologie genannt. Anhand dieser Beispiele haben wir dann noch über zusammenhängend, wegzusammenhängend und kompakt gesprochen. Bei Z mit der cofiniten Topologie wollte er Eigenschaften des Unterraums diskutieren. Als nächstes sollte ich "Sei X Hausdorff. Falls C in X kompakt ist, so ist C abgeschlossen." beweisen. Später ging es noch um regulär und normal. Er fragte warum normal eine nützliche Eigenschaft ist (oder so ähnlich). Ich hatte keine Ahnung was er hören wollte, aber als er meinte, dass wir da einen wichtigen Satz in der Vorlesung hatten, wusste ich, dass er auf Urysohn anspielt. Für den Beweis hat die Zeit nicht mehr gereicht, aber ich konnte noch das Stichwort Zwiebelschalenprinzip fallen lassen.

20.08.2015, 16:00 Uhr, Charlotte

Ich durfte mir auch mein Thema aussuchen, habe mir auch Trennungsaxiome ausgesucht, wünschte mir jetzt, ich hätte den unteren Beitrag früher gelesen... :P Er hat jedenfalls, nachdem ich alle Axiome beschrieben hatte, auch nach Beispielen wie "regulär aber nicht T1" (sorry, hier stand vorher als Beispiel Sierpinsky, aber der ist gar nicht regulär. Muss ein anderer Raum gewesen sein) gefragt. Es war ihm wichtig klarzustellen, warum zusätzlich zu regulär T1 für T3 gefordert wird (weil wir sonst langweilige Beispiele bekommen). Über Bing's Raum als Bsp für T2 sind wir dann zu Wegzusammenhang gekommen. Er wollte auch wissen, warum Intervalle zusammenhängend sind.

Er schien in eher einfache Begründungen nicht so interessiert zu sein (hat dann schon nach dem nächsten gefragt, während ich noch begründet habe). Manchmal wollte er auf etwas bestimmtes hinaus, das nicht so klar war (z.B. stetige Funktionen von einem Intervall auf einen Raum X werden wofür verwendet? ... um einen Weg abzubilden).

20.08.2015, 14:30 Uhr, Alessio

Die Prüfung fing damit an, dass ich mir mein Thema netterweise auswählen durfte. Nachdem ich mir Trennungsaxiome und Kompaktheit ausgesucht hatte durfte ich einige Dinge aufs Blatt skizieren. Letztendlich habe ich mehr oder weniger verbal Beweise zu Tychonov I,II gegeben, die Struktur von kompakten hausdorff'schen Räumen erläutert, also alle Lemmas die dazu vorkamen. Gegen Ende hin wollte er die Äquivalenz zwischen 'universelle Netzen konvergieren' und 'Überdeckungseigenschaft' hören, über Filter gehen und und und...letztendlich war ich nur noch verwirrt, dann war die Prüfung auch schon vorbei.

Weitere Anmerkungen: -Als ich mein Thema (Kompaktheit, Trennungsaxiome) ausgewählt hatte, meinte Theo 'er könne das Thema nicht mehr hören'. Gut möglich, dass er in den nächsten Tagen eher auf Zusammenhang, Filter, Netze, Urysohn oder Tietze eingeht. -Es war leicht irritierend, dass ich nie wusste, wann ich was aufschreiben sollte und wann nicht. Die maximal kompakt und minimal hausdorff'sch Eigenschaft wollte er zum Beispiel nur 'mündlich' hören, als ich schon am Aufschreiben war, da er anscheinend gerne schneller weiterfahren wollte, obwohl meiner Meinung nach das Tempo schon hoch war. -Theo will oft auf Dinge hinaus, die mir zumindest nicht wirklich ersichtlich waren (Lindelöf Eigenschaft für Sorgenfrey Ebene und T4).

20.08.2015, 14:10 Uhr, Simone

Wir haben mit Zwischenwertsatz angefangen: Def von Zusammenhang, was diese Satz besagt, woher kommt die Name. Dann hat er mich alles was zu Zusammenhang gehört ausser Wegzusammenhängend gefragt. Zum Schluss haben wir untersucht welche Eigenschaften bleiben erhalten unter Produkten und als Bsp haben wir die Sorgenfrei-Gerade/Ebene geschaut.

20.08.2015, 13:50 Uhr, Pauline

Er hat zuerst allgemein über Topologie gefragt. Dann hat er gefragt, über einige Räume und deren Basis, insbesondere die Cofinite Topologie auf R. Dann kam es auf Zusammenhang mit vielen Beispielen, die wir in der Vorlesung hatten (Cofinite Topologie, Sinuskurve, Kamm). Er hat kurz noch gefragt, ob diese Räume kompakt sind. Am Schluss kamen noch die Zusammenhangskomponente. Er wollte wissen, wieso diese abgeschlossen waren.

18.08.2015, 16:20 Uhr, Sven H

Ich musste beweisen, dass eine stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen T2 Raum abgeschlossen ist und alle Lemmas die in dieser Vorlesungstunde davor gekommen sind ( T2 plus kompakt impliziert normal, kompakte mengen sind ähnlich wie Punkte usw...). Zum Abschluss diese Abschnittes musste ich noch erläutern was wir wissen, wenn ein Raum kompakt und Hausdorff ist (maximal Kompakt und minimal Hausdorff), zusammen mit dem Beweis davon (Skizze). Dann die Definitionen von T2.5 T3.5, praktisch alles zum Bing Raum beweisen was wir in den Übungen hatten. Danach musste ich noch Urysohns Lemma komplett beweisen und seine Kernessens ("viele stetige Abbildungen") erläutern. Ganz zum Schluss noch eben Skizzieren warum es genügt Stetigkeit auf einer Subbasis zu zeigen.

18.08.2015, 16:00 Uhr, Laurin

Er sagt, er würde gerne über Trennungsaxiome und Kompaktheit sprechen und will irgendeinen Zusammenhang hören. Mir fällt erst einmal nichts ein und so leiten wir Stück für Stück "T2 + kompakt impliziert normal" her. Die dazugehörigen Lemmas möchte er hören und, dass sich kompakte Mengen wie Punkte verhalten. Dann sprechen wir darüber, dass ein kompakter Hausdorff Raum maximal kompakt und minimal Hausdorff ist und im Anschluss möchte er die Beweise von Tychnov I und Tychnonv II sehen. Zum Schluss fragt er noch noch, wie man zeigt, dass in einem Raum, welcher nicht Hausdorff ist, ein Netz existiert, das mehr als einen Grenzwert hat.

18.08.2015, 14:30 Uhr, Nesa

Wir haben eigentlich fast die ganze Zeit über Filter gesprochen: Definition, Ultrafiltern, das Nachbarschaftsfilter als Definition der Topologie, Cartan's Kriterium (mit Beweis), Beweis des Ultrafilterlemma mit Zorn's Lemma oder mit maximale Ideale. Dann GW und HP von Filtern und Netze und deren Beziehung.

18.08.2015, 10:30 Uhr, Pierre

Wir begannen mit Zusammenhang. Theo stellte die Fragen sehr allgemein.(Zusammenhang was kannst du mir erzählen? Definitionen, Theoreme,usw) Nach dem ich es hingekriegt hatte die Definition des Zusammenhangs zusammenzubasteln wollte er Beipiele für zusammenhängende Räume. Nach einem Blackout meinerseits kamen wir irgendwie auf die Reellen Zahlen. (Zusammenhang von Intervallen usw liess er mich zeigen und korrgierte die Panik induzierten Fehler) Danach fragte er mich was ich sonst noch für zshg Räume kenne. In der Verzweiflung sagte ich dass ich noch wisse, dass die reellen Zahlen mit der Sorgenfrey-Topologie total unzusammenhängend sind. Darauf ging er ein und liess mich dass zeigen. Danach redeten wir noch über das Argument warum ein Basiselement in der Sorgenfrey-Topologie abgeschlossen ist. Als er weiter machen wollte war die Zeit auch schon um.

18.08.2015, 09:40 Uhr, Jay-u

Theo sagt, dass er gerne über Trennungsaxiome und Kompaktheit sprechen würde. Es folgt Stille [es ist etwas irritierend, dass die Aussage als Aufforderung zu verstehen ist, irgendetwas zu diesem Thema zu nennen]. Da ich aus unbekannten Gründen das Theorem "kompakt und \( T_2\,\Rightarrow\,T_4 \)" nicht in meiner Mitschrift habe, weiss ich zu Beginn zwar vage, worauf Theo hinauswill, kann es aber nicht formulieren.

In chronologischer Reihenfolge wird dann gefordert:

• Definition von \(T_0\), Beispiel und Gegenbeispiel [trivialer Raum mit mehr als einem Punkt]
• Definition von \(T_1\) und Beispiel
• Definition von \(T_2\) und Beispiel
• Gegenbeispiel zu \( T_1\,\Rightarrow\,T_2\) [cofinite Topologie auf \(\mathbb{N}\)]
• begründe, warum die cofinite Topologie kompakt oder nicht kompakt ist.

Theo sagt, dass sich kompakte Mengen ähnlich wie Punkte verhalten.

• in einem \(T_2\)-Raum kann man Punkte und kompakte Mengen durch disjunkte offene Umgebungen trennen

Theo sagt eingangs erwähntes Theorem.

• Definition von \(T_3\)
• kompakt und \( T_2\,\Rightarrow\,T_3 \)
• Definition von \(T_4\)
• Skizze, wie dann "kompakt und \( T_2\,\Rightarrow\,T_4 \)" folgt

Theo fragt, wieso ihm \(T_4\)-Räume wichtig seien. "weil es viele stetige Funktionen darauf gibt" ist gemäss ihm "die perfekte Antwort".

Theo fragt, wieso es viele stetige Funktionen gibt. "aufgrund des Lemmas von Urysohn" ist "wiederum die perfekte Antwort".

Bevor wir weiter auf Urysohn eingehen können, ist die Zeit abgelaufen.

erwähnenswerte nichtprüfungsinhaltsbezogene Dinge:

• man sitzt an einem länglichen Tisch der Assistentin gegenüber; Theo sitzt an der Stirnseite
• die Assistentin wirkt irritiert, wenn man ihr die Hand gibt
• vor Theo liegt ein sehr dunkles gelbes Klarsichtmäppchen. auf dem obersten Blatt stehen einige Zeilen. vielleicht die aktuelle Fragestellung.
• Theo schaut einem oft an. also seht ihn euch auch einmal aus der Nähe an.
• Theo gibt gerne etwas kryptische Hinweise. Als ich etwas verwirrt "wenn es eine endliche Teilüberdeckung [der cofiniten Topologie] gäbe...", antwortet er nur "mir gefällt die Formulierung nicht" und wartet meine Reaktion ab
• nach etwa 15 Minuten, bei "kompakt und \( T_2)\,\Rightarrow\,T_3 \)" wird Theo plötzlich in seinen Ausführungen und Fragestellungen etwas ungenau, verhaspelt sich mehrmals

18.08.2015, 08:20 Uhr, Valentin

Theo eröffnet mit dem Satz, dass er vorhin gerade ein interessantes Gespräch über Trennungsaxiome hatte und gleich da weiterfahren möchte. Es verstrichen ein paar Sekunden, bis mir bewusst wurde, dass ich nun einfach etwas zu den Trennungsaxiomen sagen sollte. Ich malte also einfach die Bildchen dazu und erwähnte Gegenbeispiele zu den einzelnen Nicht-Implikationen. Dann wollte er mehr zum Bing-Raum wissen: Ich definierte ihn, begründete kurz T2 und wollte dann zusammenhängend zeigen. Dabei kam ich nur bis zu: der Abschluss von Bällen muss sich immer schneiden, weil er W-förmig ist. Die Schlussfolgerung fiel mir aber nicht ein, obwohl er gesagt hat, es stehe eigentlich schon alles auf dem Papier und ich sollte nochmals überlegen und die Definition von Zusammenhang notieren, was peinlicherweise schief lief und darum nicht viel weiterhalf. Dann wollte er wissen, ob der Bing-Raum T2 1/2 ist. Ich sagte, er sei nicht T3, und begründete dies, und so spontan sei er auch T2 1/2. Ich korrigierte mich dann aber selbst und zeigte ziemlich unbeholfen, aber korrekt, dass dann f(X)=[0,1] sein würde, was nicht sein kann, weil [0,1] überabzählbar ist.

Dann wechselten wir zur Ordnungstopologie. Ich sagte, dass wir dazu X und eine partielle Ordnung brauchen. Er sagte, es brauche noch mehr. Ich ergänzte, die Ordnung müsse total sein. Er wollte wissen, was ich zur Ordnungstopologie so zu sagen habe. Ich wusste eigentlich nur, dass es etwas mit dem Dedekindschen Schnittaxiom zu tun hat, welches ich nicht rezitieren konnte. Dann fragte er nach einem Beispiel (und wollte lexikographische Ordnung hören). Ich kannte nur R, konnte dann aber ausführen, was mit lexikographischer Ordnung gemeint ist. Zum Schluss wollte er noch etwas mehr über den Zusammenhang in diesem Raum hören. Ich wiederholte, dass das die Intervalle sind, das wussten wir aber schon. Er schloss das Gespräch, indem er bemerkte, dass die lexikographische Ordnung nicht wegzusammenhängend sei. Ich nickte, schüttelte beiden die Hände und ging zur Tür.

18.08.2015, 08:00 Uhr, Janis

Das interessante Gespräch über Trennungsaxiome, das Valentin oben erwähnt hat, hatte dann wohl ich mit ihm - meine Prüfung hat sich komplett um das Thema Trennungsaxiome gedreht. Am Anfang musste ich ein paar Definitionen herunterleiern. Dann wollte er ein Beispiel für einen normalen Raum der nicht \(T_1\) ist (die triviale Topologie). Nachdem ich dann die äquivalente Definition eines normalen Raumes erläutern sollte, wollte er den Beweis von Urysohns Lemma sehen. Dabei hatte er ein spezielles Augenmerk auf die Stetigkeit der Funktion gerichtet. Ganz am Ende wollte er noch wissen, welche Bedingung zusätzlich nötig ist, damit Urysohn Tietze impliziert. Das war dann aber auch schon die letzte Frage.

21.08.2015, 09:20 Uhr, Johannes

Theo beginnt das Gespräch komplett offen mit: "Über was möchtest du sprechen?". Ich sagte Kompaktheit und durfte dann zeigen, dass jeder kompakte hausdorff Raum normal ist. Er wollte den kompletten Beweis mit allen Zwischenschritten sehen. Dazu stellt er zu jedem Zwischenschritt kleine Zusatzfragen, die allerdings sehr offen sind und man herausfinden muss auf was er genau hinaus will; e.g. Ich habe gezeigt, dass man ein Punkt und eine kompakte Menge durch offene Mengen trennen kann. Dann kam: "Was heisst das für den Raum?" (Er ist regulär); "Was kann man dann noch über C sagen?"(C ist abgeschlossen).

Danach ging er zur Definition von Kompaktheit und wollte die Argumente für die Äquivalenzen hören; eine Äquivalenz von Netz mit Häufungspunkt nach Überdeckungskompakt und umgekehrt musste ich genau ausführen.

Anschliessend wollte er etwas über Produkträume und Kompaktheit hören. Ich nannte ihm den Satz von Tychonoff und gab ihm die Beweisideen für den endlichen Fall und für beliebige Produkte; weiter erwähnte ich das für beliebige Produkte das Auswahlaxiom benötigt wird und sonst nicht. Dies genügte ihm.

Im Folgenden ging er auf Netze ein, nun aber nicht mehr so genau; Erklärungen zu universellen Netzen, Ultrafilter, Satz von Kelley und Ultrafilterlemma, Korrespondenz von Ultrafilter und universellen Netzen. Dies aber nun wirklich nicht mehr so genau, ich konnte mündlich antworten.

Zum Schluss wollte er ein Beispiel einer kompakten Menge hören. Ich habe im Heine-Borel im R^n angegeben und musste den Satz noch beweisen.

Allgemein: Theo fragt sehr offen; es lohnt sich also, sich zu überlegen, über was man am liebsten sprechen möchte (vor allem am Anfang).