Algebra - Emmanuel Kowalski - 2015

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27.08.2015 13:30 Uhr, Martin

• Galois-Korrespondenz.
• Operation der Galois-Gruppe auf den Nullstellen eines Polynoms.
• Wie bettet man die Galois-Gruppe eines Polynoms in \( S_d \) ein?
• Berechnung der Galois-Gruppe einer vierdimensionalen Erweiterung von \( \mathbb{Q} \). Bestimmung aller Zwischenkörper.
• Beweis der Galois-Korrespondenz.
• Theorie der endlichen Körper: Existenz und Eindeutigkeit.
• Warum ist der Frobenius-Homomorphismus ein Homomorphismus? Binomialkoeffizienten durch p teilbar.
• Galois-Gruppen von endlichen Erweiterungen endlicher Körper.

Aufpassen mit Notationen. Schreibt man für ein \(K\)-embedding \(\tau: L \rightarrow \overline{K} \) und \(L/K\) ist normal, so kann man eigentlich nicht schreiben, dass \(\tau \in G \), der Automorphismengruppe von L, liegt, weil die Zielmenge nicht passt. Wenn man nicht weiterkommt, gibt Kowalski Hinweise.

27.08.2015 13:00 Uhr, Valentin

• Galois correspondence
• Example for Galois correspondence (I chose splitting field of \( X^3-2 \) and talked a lot about this one, he asked for the Galois group, and why we can embed it in \(S_d\), ... )
• Proof of Galois correspondence
• Galois theory for finite extensions of finite fields

26.08.2015, 15.30 Uhr, Alessio

• Field examples
• extansions
• Galois correspondence
• some Galois group computation

26.08.2015, 14:30 Uhr, Nicola

• Field examples
• Fraction Field (Frac(K[X]) is an example for a field which contains a polynomial ring)
• extensions
• seperability

26.08.2015, 14.00 Uhr, Sanzio

• Fields: examples
• Extension: examples; does\(\mathbb{C}\) have an extension?
• Finite fields: Galois thm
• How to create a finite field
• separable extension, example of a not separable extension

26.08.2015, 13.00 Uhr, Alessandro

• Examples of field-extensions
• Splitting fields, algebraic closure etc.
• Finite fields
• How would you find the roots of \(X^3 + 2 \) in \( \mathbb{F}_{49} \)?
• Galois-correspondence and some examples

25.08.2015, 14:00 Uhr, Pauline

Wenn man nicht mehr vorankommt, gab Prof. Kowalski hilfreiche Tipps.

• Galois correspondence theorem
• Properties of finite fields
• Construction of a field
• Properties of a quadratic extension
• Primitive element theorem
• Structure theorem
• Application of structure theorem (-> Jordan canonical form)

25.08.2015, 13:00 Uhr, Nesa

• State and proof the Galois correspondence (when I was stuck he waited some time but then gave hints).
• What are separable and normal extensions? Can you give examples of separable/not separable/normal/not normal extensions?
• Do you know some theorem about separability? (finite field/char=0 --> (finite --> separable))
• What did we use Galois theory for? State some examples
  • final theorem about solvability of polynomial equations
  • actions of the Galois group: action on the roots of a separable polynomial. Bijection {irreducible divisors}<-->{orbits}. What is the stabilizer of a root under this action?
  • cyclotomic extensions. What are they? State the main theorem. Why are the roots of unity cyclic? How do you define the injective homomorphism?

25.08.2015, 11:00 Uhr, Clemens

Praktisch dasselbe wie bei Aline:

• Bsp. group actions (Symm. group, Galois group acting on roots, multiplication...)
• Def G-morphism, morphism
• Orbit-Stabilizer thm
• Anwendung: Prop. Jordan (H<G proper subgroup => there's a conjugacy class C in G st. C^H is empty)

Kowalski ist SEHR pingelig, also immer gut überlegen vor dem Aufschreiben.

25.08.2015, 9:00 Uhr, Aline

• Beispiele group actions
• orbits
• orbit-stabilizer-theorem
• conjugacy classes
• Jordannormalform

24.08.2015, 16:30 Uhr, Charlotte

• 1) Beispiele von Ringen, beschreibe deren max und prime ideals
• 2) Beweis, dass jeder Ring ungleich Null ein maximales Ideal enthaelt
• 3) wie kann man integral domains noch charakterisieren? => man kann sie in ein field of fractions einbetten, Beschreibung davon
• 4) Structure theorem for finitely generated modules over a PID angeben. (Er nennt es Classification Theorem)

24.08.2015, 15:30 Uhr, Samuel

• 1) Beispiele für Ringe, maximal und prime ideals
• 2) Ist \(X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\) maximal ideal (nein, denn \(\mathbb{Z}\left [ X \right ]/X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\simeq \mathbb{Z}\))
• 3) Was sind max/prime ideals von \(\mathbb{C}\left [ X \right ]\) (maximal: PC[X] für P irreducible, prime: maximal und zusätzlich zero ideal)
• 4) Krull Theorem angeben und beweisen
• 5) Zusammenhang von max/prime ideals für f:A->B ring hom., insbesondere zeigen dass f^-1(prime ideal) ebenfalls prime ist
• 6) Alternative Charakterisierung von integral domains (Einbettung in fraction field)

24.08.2015, 13:30 Uhr, Viviane

• 1) Beispiele von Ringen, maximal ideals, prime ideals.
• 2) Beweis, dass jeder nichtnulle Ring ein maximales Ideal enthält.
• 3) f:A->B ring homomorphism, was kann man über Zusammenhang von Primidealen/max. Idealen sagen.
• 4) Bsp f^-1(max ideal) ist kein max Ideal. (A=Z, B=R, {0} in B)
• 5) ID charakterisieren als Einbettung in fraction field. (genau nachgefragt, was man alles überprüfen muss / Def von *,+)
• 6) Structure theorem angeben. Dann Bsp einer Gruppe aufschreiben, die so erhalten werden könnte.
• 7) Anwendungen davon:
• 8) Beweis, dass Körper ohne Null eine zyklische Gruppe ist.
• 9) Jordannormalform Beweisskizze.

24.08.2015, 08:28 Uhr, Manuel

Direkt am Anfang erklärte er wie die Prüfung ablaufen sollte. Und zwar so: Man schreibt alles auf (auch die Beweise in detailierter Form) Das Aufgeschrieben verwendet er dann für die Bewertung.

Wir starteten mit Ringe. K) Schreibe ein Paar Ringe auf I) Z, Z[x] K) und ein nicht kommutativer Ring? I) quadratische Matrizen(GLn(R) ist kein Ring) K) group of units? I) A^x definiert K) group of units von deinen Beispielringen I) aufgeschrieben K) definition Ideal I) definiert K) beispiel in Z I) aZ K) Z a PID I) Ja und bewiesen K) CRT in Z und Euclidean division in Z I) aufgeschrieben und euclidean division kurz bewiesen K) CRT im allgemeinen I) Aufschreiben K) 08:58 Prüfung fertig

24.08.2015, 09:00 Uhr, Johannes

Sehr ähnliche Prüfung wie Manuel. Eingangs diesselbe Erklärung wie die Prüfung ablaufen soll: Alles aufschreiben und Beweise detailliert vollführen.

• 1) Beispiele von Ringe verlangt: Z, Z[X], F[X] PID F field, A ID A[X] ID, GLn(R).
• 2) Definition von Unitgroup und Bestimmung aller Unitgroups der vorangegangenen Ringe.
• 3) Unitgroup von Z[X] im speziellen mit Beweis: {-1,1} Beweis per Widerspruch.
• 4) Defintion von Ideal und was man über a,b in Z sagen kann, wenn aZ=bZ (a/b in Unitgroup von Z = {1,-1}.
• 5) Wie sehen die Ideale in Z aus mit Beweis: I=nZ
• 6) Aussage von CRT mit komplettem Beweis

Kowalski hat eine strikte Prüfungsart. Er führt einem komplett durch die Prüfung; ich wollte immer zu Galois Theory aber er liess mich nicht  :(. Desweiteren kann er penibel sein: Als ich ihm das CRT hingeschrieben habe mit der Definition von coprimen Idealen, hat er mich speziell darauf hingewiesen, dass Ij+Ii=A nur für i ungleich j gilt, da ich es vergessen hatte hinzuschreiben.