Difference between revisions of "Topologie - Theo Bühler - 2015"

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== 18.08.2015, 08:20 Uhr, Valentin ==
 
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Theo eröffnet mit dem Satz, dass er vorhin gerade ein interessantes Gespräch über Trennungsaxiome hatte und gleich da weiterfahren möchte. Es verstrichen ein paar Sekunden bis mir bewusst wurde, dass ich nun einfach etwas zu den Trennungsaxiomen sagen sollte. Ich malte also einfach die Bildchen dazu und erwähnte Gegenbeispiele zu den einzelnen Nicht-Implikationen.  
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Theo eröffnet mit dem Satz, dass er vorhin gerade ein interessantes Gespräch über Trennungsaxiome hatte und gleich da weiterfahren möchte. Es verstrichen ein paar Sekunden, bis mir bewusst wurde, dass ich nun einfach etwas zu den Trennungsaxiomen sagen sollte. Ich malte also einfach die Bildchen dazu und erwähnte Gegenbeispiele zu den einzelnen Nicht-Implikationen.  
Dann wollte er mehr zum Bing-Raum wissen: Ich definierte ihn, begründete kurz T2 und wollte dann zusammenhängend zeigen. Da kam ich nur bis zu der Abschluss von Bällen muss sich immer schneiden, weil er W-förmig ist. Die Schlussfolgerung fiel mir aber nicht ein, obwohl er gesagt hat, es stehe eigentlich schon alles auf dem Papier und ich sollte nochmals überlegen und die Definition von Zusammenhang notieren, was peinlicherweise schief lief und darum nicht fiel weiterhalf.
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Dann wollte er mehr zum Bing-Raum wissen: Ich definierte ihn, begründete kurz T2 und wollte dann zusammenhängend zeigen. Dabei kam ich nur bis zu: der Abschluss von Bällen muss sich immer schneiden, weil er W-förmig ist. Die Schlussfolgerung fiel mir aber nicht ein, obwohl er gesagt hat, es stehe eigentlich schon alles auf dem Papier und ich sollte nochmals überlegen und die Definition von Zusammenhang notieren, was peinlicherweise schief lief und darum nicht viel weiterhalf.
Dann wollte er wissen, ob der Bing-Raum T2 1/2 ist. Ich sagte, er sei nicht T3, und begründete dies, und so spontan sei er T2 1/2. Ich korrigierte mich dann aber selbst und zeigte ziemlich unbeholfen, dass dann aber f(X)=[0,1] sein würde, was nicht sein kann, weil [0,1] überabzählbar ist.
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Dann wollte er wissen, ob der Bing-Raum T2 1/2 ist. Ich sagte, er sei nicht T3, und begründete dies, und so spontan sei er auch T2 1/2. Ich korrigierte mich dann aber selbst und zeigte ziemlich unbeholfen, aber korrekt, dass dann f(X)=[0,1] sein würde, was nicht sein kann, weil [0,1] überabzählbar ist.
  
 
Dann wechselten wir zur Ordnungstopologie. Ich sagte, dass wir dazu X und eine partielle Ordnung brauchen. Er sagte es braucht noch mehr. Ich ergänzte, die Ordnung muss total sein. Er wollte wissen, was ich zur Ordnungstopologie so zu sagen habe. Ich wusste eigentlich nur, dass es etwas mit dem Dedekindschen Schnittaxiom zu tun hat, welches ich nicht rezitieren konnte. Dann fragte er nach einem Beispiel (und wollte lexikographische Ordnung hören). Ich kannte nur R, konnte dann aber ausführen, was mit lexikographischer Ordnung gemeint ist.  
 
Dann wechselten wir zur Ordnungstopologie. Ich sagte, dass wir dazu X und eine partielle Ordnung brauchen. Er sagte es braucht noch mehr. Ich ergänzte, die Ordnung muss total sein. Er wollte wissen, was ich zur Ordnungstopologie so zu sagen habe. Ich wusste eigentlich nur, dass es etwas mit dem Dedekindschen Schnittaxiom zu tun hat, welches ich nicht rezitieren konnte. Dann fragte er nach einem Beispiel (und wollte lexikographische Ordnung hören). Ich kannte nur R, konnte dann aber ausführen, was mit lexikographischer Ordnung gemeint ist.  
Zum Schluss wollte er noch etwas mehr über den Zusammenhang hören. Ich wiederholte, dass das die Intervalle sind. Er schloss das Gespräch, indem er bemerkte, dass die lexikographische Ordnung nicht wegzusammenhängend ist. Ich nickte, schüttelte beiden die Hände und ging zur Tür.
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Zum Schluss wollte er noch etwas mehr über den Zusammenhang in diesem Raum hören. Ich wiederholte, dass das die Intervalle sind, das wussten wir aber schon. Er schloss das Gespräch, indem er bemerkte, dass die lexikographische Ordnung nicht wegzusammenhängend ist. Ich nickte, schüttelte beiden die Hände und ging zur Tür.

Revision as of 18:39, 18 August 2015

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18.08.2015, 16:20 Uhr, Sven H

Ich musste beweisen, dass eine stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen T2 Raum abgeschlossen ist und alle Lemmas die in dieser Vorlesungstunde davor gekommen sind ( T2 plus kompakt impliziert normal, kompakte mengen sind ähnlich wie Punkte usw...). Zum Abschluss diese Abschnittes musste ich noch erläutern was wir wissen, wenn ein Raum kompakt und Hausdorff ist (maximal Kompakt und minimal Hausdorff), zusammen mit dem Beweis davon (Skizze). Dann die Definitionen von T2.5 T3.5, praktisch alles zum Bing Raum beweisen was wir in den Übungen hatten. Danach musste ich noch Urysohns Lemma komplett beweisen und seine Kernessens ("viele stetige Abbildungen") erläutern. Ganz zum Schluss noch eben Skizzieren warum es genügt Stetigkeit auf einer Subbasis zu zeigen.

18.08.2015, 16:00 Uhr, Laurin

Er sagt, er würde gerne über Trennungsaxiome und Kompaktheit sprechen und will irgendeinen Zusammenhang hören. Mir fällt erst einmal nichts ein und so leiten wir Stück für Stück "T2 + kompakt impliziert normal" her. Die dazugehörigen Lemmas möchte er hören und, dass sich kompakte Mengen wie Punkte verhalten. Dann sprechen wir darüber, dass ein kompakter Hausdorff Raum maximal kompakt und minimal Hausdorff ist und im Anschluss möchte er die Beweise von Tychnov I und Tychnonv II sehen. Zum Schluss fragt er noch noch, wie man zeigt, dass in einem Raum, welcher nicht Hausdorff ist, ein Netz existiert, das mehr als einen Grenzwert hat.

18.08.2015, 14:30 Uhr, Nesa

Wir haben eigentlich fast die ganze Zeit über Filter gesprochen: Definition, Ultrafiltern, das Nachbarschaftsfilter als Definition der Topologie, Cartan's Kriterium (mit Beweis), Beweis des Ultrafilterlemma mit Zorn's Lemma oder mit maximale Ideale. Dann GW und HP von Filtern und Netze und deren Beziehung.


18.08.2015, 10:30 Uhr, Pierre

Wir begannen mit Zusammenhang. Theo stellte die Fragen sehr allgemein.(Zusammenhang was kannst du mir erzählen? Definitionen, Theoreme,usw) Nach dem ich es hingekriegt hatte die Definition des Zusammenhangs zusammenzubasteln wollte er Beipiele für zusammenhängende Räume. Nach einem Blackout meinerseits kamen wir irgendwie auf die Reellen Zahlen. (Zusammenhang von Intervallen usw liess er mich zeigen und korrgierte die Panik induzierten Fehler) Danach fragte er mich was ich sonst noch für zshg Räume kenne. In der Verzweiflung sagte ich dass ich noch wisse, dass die reellen Zahlen mit der Sorgenfrey-Topologie total unzusammenhängend sind. Darauf ging er ein und liess mich dass zeigen. Danach redeten wir noch über das Argument warum ein Basiselement in der Sorgenfrey-Topologie abgeschlossen ist. Als er weiter machen wollte war die Zeit auch schon um.


18.08.2015, 09:40 Uhr, Jay-u

Theo sagt, dass er gerne über Trennungsaxiome und Kompaktheit sprechen würde. Es folgt Stille [es ist etwas irritierend, dass die Aussage als Aufforderung zu verstehen ist, irgendetwas zu diesem Thema zu nennen]. Da ich aus unbekannten Gründen das Theorem "kompakt und \( T_2\,\Rightarrow\,T_4 \)" nicht in meiner Mitschrift habe, weiss ich zu Beginn zwar vage, worauf Theo hinauswill, kann es aber nicht formulieren.

In chronologischer Reihenfolge wird dann gefordert:

  • Definition von \(T_0\), Beispiel und Gegenbeispiel [trivialer Raum mit mehr als einem Punkt]
  • Definition von \(T_1\) und Beispiel
  • Definition von \(T_2\) und Beispiel
  • Gegenbeispiel zu \( T_1\,\Rightarrow\,T_2\) [cofinite Topologie auf \(\mathbb{N}\)]
  • begründe, warum die cofinite Topologie kompakt oder nicht kompakt ist.

Theo sagt, dass sich kompakte Mengen ähnlich wie Punkte verhalten.

  • in einem \(T_2\)-Raum kann man Punkte und kompakte Mengen durch disjunkte offene Umgebungen trennen

Theo sagt eingangs erwähntes Theorem.

  • Definition von \(T_3\)
  • kompakt und \( T_2\,\Rightarrow\,T_3 \)
  • Definition von \(T_4\)
  • Skizze, wie dann "kompakt und \( T_2\,\Rightarrow\,T_4 \)" folgt

Theo fragt, wieso ihm \(T_4\)-Räume wichtig seien. "weil es viele stetige Funktionen darauf gibt" ist gemäss ihm "die perfekte Antwort".

Theo fragt, wieso es viele stetige Funktionen gibt. "aufgrund des Lemmas von Urysohn" ist "wiederum die perfekte Antwort".

Bevor wir weiter auf Urysohn eingehen können, ist die Zeit abgelaufen.


erwähnenswerte nichtprüfungsinhaltsbezogene Dinge:

  • man sitzt an einem länglichen Tisch der Assistentin gegenüber; Theo sitzt an der Stirnseite
  • die Assistentin wirkt irritiert, wenn man ihr die Hand gibt
  • vor Theo liegt ein sehr dunkles gelbes Klarsichtmäppchen. auf dem obersten Blatt stehen einige Zeilen. vielleicht die aktuelle Fragestellung.
  • Theo schaut einem oft an. also seht ihn euch auch einmal aus der Nähe an.
  • Theo gibt gerne etwas kryptische Hinweise. Als ich etwas verwirrt "wenn es eine endliche Teilüberdeckung [der cofiniten Topologie] gäbe...", antwortet er nur "mir gefällt die Formulierung nicht" und wartet meine Reaktion ab
  • nach etwa 15 Minuten, bei "kompakt und \( T_2)\,\Rightarrow\,T_3 \)" wird Theo plötzlich in seinen Ausführungen und Fragestellungen etwas ungenau, verhaspelt sich mehrmals

18.08.2015, 08:20 Uhr, Valentin

Theo eröffnet mit dem Satz, dass er vorhin gerade ein interessantes Gespräch über Trennungsaxiome hatte und gleich da weiterfahren möchte. Es verstrichen ein paar Sekunden, bis mir bewusst wurde, dass ich nun einfach etwas zu den Trennungsaxiomen sagen sollte. Ich malte also einfach die Bildchen dazu und erwähnte Gegenbeispiele zu den einzelnen Nicht-Implikationen. Dann wollte er mehr zum Bing-Raum wissen: Ich definierte ihn, begründete kurz T2 und wollte dann zusammenhängend zeigen. Dabei kam ich nur bis zu: der Abschluss von Bällen muss sich immer schneiden, weil er W-förmig ist. Die Schlussfolgerung fiel mir aber nicht ein, obwohl er gesagt hat, es stehe eigentlich schon alles auf dem Papier und ich sollte nochmals überlegen und die Definition von Zusammenhang notieren, was peinlicherweise schief lief und darum nicht viel weiterhalf. Dann wollte er wissen, ob der Bing-Raum T2 1/2 ist. Ich sagte, er sei nicht T3, und begründete dies, und so spontan sei er auch T2 1/2. Ich korrigierte mich dann aber selbst und zeigte ziemlich unbeholfen, aber korrekt, dass dann f(X)=[0,1] sein würde, was nicht sein kann, weil [0,1] überabzählbar ist.

Dann wechselten wir zur Ordnungstopologie. Ich sagte, dass wir dazu X und eine partielle Ordnung brauchen. Er sagte es braucht noch mehr. Ich ergänzte, die Ordnung muss total sein. Er wollte wissen, was ich zur Ordnungstopologie so zu sagen habe. Ich wusste eigentlich nur, dass es etwas mit dem Dedekindschen Schnittaxiom zu tun hat, welches ich nicht rezitieren konnte. Dann fragte er nach einem Beispiel (und wollte lexikographische Ordnung hören). Ich kannte nur R, konnte dann aber ausführen, was mit lexikographischer Ordnung gemeint ist. Zum Schluss wollte er noch etwas mehr über den Zusammenhang in diesem Raum hören. Ich wiederholte, dass das die Intervalle sind, das wussten wir aber schon. Er schloss das Gespräch, indem er bemerkte, dass die lexikographische Ordnung nicht wegzusammenhängend ist. Ich nickte, schüttelte beiden die Hände und ging zur Tür.