Difference between revisions of "Algebra - Emmanuel Kowalski - 2015"

Revision as of 16:07, 24 August 2015

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24.08.2015, 16:30 Uhr, Charlotte

• 1) Beispiele von Ringen, beschreibe deren max und prime ideals
• 2) Beweis, dass jeder Ring ungleich Null ein maximales Ideal enthaelt
• 3) wie kann man integral domains noch charakterisieren? => man kann sie in ein field of fractions einbetten, Beschreibung davon
• 4) Structure theorem for finitely generated modules over a PID angeben. (Er nennt es Classification Theorem)

24.08.2015, 15:30 Uhr, Samuel

• 1) Beispiele für Ringe, maximal und prime ideals
• 2) Ist \(X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\) maximal ideal (nein, denn \(\mathbb{Z}\left [ X \right ]/X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\simeq \mathbb{Z}\))
• 3) Was sind max/prime ideals von \(\mathbb{C}\left [ X \right ]\) (maximal: PC[X] für P irreducible, prime: maximal und zusätzlich zero ideal)
• 4) Krull Theorem angeben und beweisen
• 5) Zusammenhang von max/prime ideals für f:A->B ring hom., insbesondere zeigen dass f^-1(prime ideal) ebenfalls prime ist
• 6) Alternative Charakterisierung von integral domains (Einbettung in fraction field)

24.08.2015, 13:30 Uhr, Viviane

• 1) Beispiele von Ringen, maximal ideals, prime ideals.
• 2) Beweis, dass jeder nichtnulle Ring ein maximales Ideal enthält.
• 3) f:A->B ring homomorphism, was kann man über Zusammenhang von Primidealen/max. Idealen sagen.
• 4) Bsp f^-1(max ideal) ist kein max Ideal. (A=Z, B=R, {0} in B)
• 5) Structure theorem angeben. Dann Bsp einer Gruppe aufschreiben, die so erhalten werden könnte.
• 6) Anwendungen davon:
• 7) Beweis, dass Körper ohne Null eine zyklische Gruppe ist.
• 8) Jordannormalform Beweisskizze.

24.08.2015, 08:28 Uhr, Manuel

Direkt am Anfang erklärte er wie die Prüfung ablaufen sollte. Und zwar so: Man schreibt alles auf (auch die Beweise in detailierter Form) Das Aufgeschrieben verwendet er dann für die Bewertung.

Wir starteten mit Ringe. K) Schreibe ein Paar Ringe auf I) Z, Z[x] K) und ein nicht kommutativer Ring? I) quadratische Matrizen(GLn(R) ist kein Ring) K) group of units? I) A^x definiert K) group of units von deinen Beispielringen I) aufgeschrieben K) definition Ideal I) definiert K) beispiel in Z I) aZ K) Z a PID I) Ja und bewiesen K) CRT in Z und Euclidean division in Z I) aufgeschrieben und euclidean division kurz bewiesen K) CRT im allgemeinen I) Aufschreiben K) 08:58 Prüfung fertig

24.08.2015, 09:00 Uhr, Johannes

Sehr ähnliche Prüfung wie Manuel. Eingangs diesselbe Erklärung wie die Prüfung ablaufen soll: Alles aufschreiben und Beweise detailliert vollführen.

• 1) Beispiele von Ringe verlangt: Z, Z[X], F[X] PID F field, A ID A[X] ID, GLn(R).
• 2) Definition von Unitgroup und Bestimmung aller Unitgroups der vorangegangenen Ringe.
• 3) Unitgroup von Z[X] im speziellen mit Beweis: {-1,1} Beweis per Widerspruch.
• 4) Defintion von Ideal und was man über a,b in Z sagen kann, wenn aZ=bZ (a/b in Unitgroup von Z = {1,-1}.
• 5) Wie sehen die Ideale in Z aus mit Beweis: I=nZ
• 6) Aussage von CRT mit komplettem Beweis

Kowalski hat eine strikte Prüfungsart. Er führt einem komplett durch die Prüfung; ich wollte immer zu Galois Theory aber er liess mich nicht  :(. Desweiteren kann er penibel sein: Als ich ihm das CRT hingeschrieben habe mit der Definition von coprimen Idealen, hat er mich speziell darauf hingewiesen, dass Ij+Ii=A nur für i ungleich j gilt, da ich es vergessen hatte hinzuschreiben.