Difference between revisions of "Algebra - Emmanuel Kowalski - 2015"
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+ | == 27.08.2015 13:30 Uhr, Martin == | ||
+ | * Galois-Korrespondenz. | ||
+ | * Operation der Galois-Gruppe auf den Nullstellen eines Polynoms. | ||
+ | * Wie bettet man die Galois-Gruppe eines Polynoms in \( S_d \) ein? | ||
+ | * Berechnung der Galois-Gruppe einer vierdimensionalen Erweiterung von \( \mathbb{Q} \). Bestimmung aller Zwischenkörper. | ||
+ | * Beweis der Galois-Korrespondenz. | ||
+ | * Theorie der endlichen Körper: Existenz und Eindeutigkeit. | ||
+ | * Warum ist der Frobenius-Homomorphismus ein Homomorphismus? Binomialkoeffizienten durch p teilbar. | ||
+ | * Galois-Gruppen von endlichen Erweiterungen endlicher Körper. | ||
+ | Aufpassen mit Notationen. Schreibt man für ein \(K\)-embedding \(\tau: L \rightarrow \overline{K} \) und \(L/K\) ist normal, so kann man eigentlich nicht schreiben, dass \(\tau \in G \), der Automorphismengruppe von L, liegt, weil die Zielmenge nicht passt. Wenn man nicht weiterkommt, gibt Kowalski Hinweise. | ||
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+ | == 27.08.2015 13:00 Uhr, Valentin == | ||
+ | * Galois correspondence | ||
+ | * Example for Galois correspondence (I chose splitting field of \( X^3-2 \) and talked a lot about this one, he asked for the Galois group, and why we can embed it in \(S_d\), ... ) | ||
+ | * Proof of Galois correspondence | ||
+ | * Galois theory for finite extensions of finite fields | ||
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+ | == 26.08.2015, 15.30 Uhr, Alessio== | ||
+ | *Field examples | ||
+ | *extansions | ||
+ | *Galois correspondence | ||
+ | *some Galois group computation | ||
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+ | == 26.08.2015, 14:30 Uhr, Nicola== | ||
+ | *Field examples | ||
+ | *Fraction Field (Frac(K[X]) is an example for a field which contains a polynomial ring) | ||
+ | *extensions | ||
+ | *seperability | ||
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+ | == 26.08.2015, 14.00 Uhr, Sanzio== | ||
+ | *Fields: examples | ||
+ | *Extension: examples; does\(\mathbb{C}\) have an extension? | ||
+ | *Finite fields: Galois thm | ||
+ | *How to create a finite field | ||
+ | *separable extension, example of a not separable extension | ||
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+ | == 26.08.2015, 13.00 Uhr, Alessandro == | ||
+ | *Examples of field-extensions | ||
+ | *Splitting fields, algebraic closure etc. | ||
+ | *Finite fields | ||
+ | *How would you find the roots of \(X^3 + 2 \) in \( \mathbb{F}_{49} \)? | ||
+ | *Galois-correspondence and some examples | ||
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+ | == 25.08.2015, 14:00 Uhr, Pauline == | ||
+ | Wenn man nicht mehr vorankommt, gab Prof. Kowalski hilfreiche Tipps. | ||
+ | *Galois correspondence theorem | ||
+ | *Properties of finite fields | ||
+ | *Construction of a field | ||
+ | *Properties of a quadratic extension | ||
+ | *Primitive element theorem | ||
+ | *Structure theorem | ||
+ | *Application of structure theorem (-> Jordan canonical form) | ||
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+ | == 25.08.2015, 13:00 Uhr, Nesa == | ||
+ | *State and proof the Galois correspondence (when I was stuck he waited some time but then gave hints). | ||
+ | *What are separable and normal extensions? Can you give examples of separable/not separable/normal/not normal extensions? | ||
+ | *Do you know some theorem about separability? (finite field/char=0 --> (finite --> separable)) | ||
+ | *What did we use Galois theory for? State some examples | ||
+ | **final theorem about solvability of polynomial equations | ||
+ | **actions of the Galois group: action on the roots of a separable polynomial. Bijection {irreducible divisors}<-->{orbits}. What is the stabilizer of a root under this action? | ||
+ | **cyclotomic extensions. What are they? State the main theorem. Why are the roots of unity cyclic? How do you define the injective homomorphism? | ||
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+ | == 25.08.2015, 11:00 Uhr, Clemens == | ||
+ | Praktisch dasselbe wie bei Aline: | ||
+ | *Bsp. group actions (Symm. group, Galois group acting on roots, multiplication...) | ||
+ | *Def G-morphism, morphism | ||
+ | *Orbit-Stabilizer thm | ||
+ | *Anwendung: Prop. Jordan (H<G proper subgroup => there's a conjugacy class C in G st. C^H is empty) | ||
+ | Kowalski ist SEHR pingelig, also immer gut überlegen vor dem Aufschreiben. | ||
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+ | == 25.08.2015, 9:00 Uhr, Aline == | ||
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+ | * Beispiele group actions | ||
+ | * orbits | ||
+ | * orbit-stabilizer-theorem | ||
+ | * conjugacy classes | ||
+ | * Jordannormalform | ||
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+ | *1) Beispiele von Ringen, beschreibe deren max und prime ideals | ||
+ | *2) Beweis, dass jeder Ring ungleich Null ein maximales Ideal enthaelt | ||
+ | *3) wie kann man integral domains noch charakterisieren? => man kann sie in ein field of fractions einbetten, Beschreibung davon | ||
+ | *4) Structure theorem for finitely generated modules over a PID angeben. (Er nennt es Classification Theorem) | ||
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+ | *1) Beispiele für Ringe, maximal und prime ideals | ||
+ | *2) Ist \(X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\) maximal ideal (nein, denn \(\mathbb{Z}\left [ X \right ]/X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\simeq \mathbb{Z}\)) | ||
+ | *3) Was sind max/prime ideals von \(\mathbb{C}\left [ X \right ]\) (maximal: PC[X] für P irreducible, prime: maximal und zusätzlich zero ideal) | ||
+ | *4) Krull Theorem angeben und beweisen | ||
+ | *5) Zusammenhang von max/prime ideals für f:A->B ring hom., insbesondere zeigen dass f^-1(prime ideal) ebenfalls prime ist | ||
+ | *6) Alternative Charakterisierung von integral domains (Einbettung in fraction field) | ||
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+ | *1) Beispiele von Ringen, maximal ideals, prime ideals. | ||
+ | *2) Beweis, dass jeder nichtnulle Ring ein maximales Ideal enthält. | ||
+ | *3) f:A->B ring homomorphism, was kann man über Zusammenhang von Primidealen/max. Idealen sagen. | ||
+ | *4) Bsp f^-1(max ideal) ist kein max Ideal. (A=Z, B=R, {0} in B) | ||
+ | *5) ID charakterisieren als Einbettung in fraction field. (genau nachgefragt, was man alles überprüfen muss / Def von *,+) | ||
+ | *6) Structure theorem angeben. Dann Bsp einer Gruppe aufschreiben, die so erhalten werden könnte. | ||
+ | *7) Anwendungen davon: | ||
+ | *8) Beweis, dass Körper ohne Null eine zyklische Gruppe ist. | ||
+ | *9) Jordannormalform Beweisskizze. | ||
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Direkt am Anfang erklärte er wie die Prüfung ablaufen sollte. Und zwar so: | Direkt am Anfang erklärte er wie die Prüfung ablaufen sollte. Und zwar so: | ||
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Sehr ähnliche Prüfung wie Manuel. Eingangs diesselbe Erklärung wie die Prüfung ablaufen soll: Alles aufschreiben und Beweise detailliert vollführen. | Sehr ähnliche Prüfung wie Manuel. Eingangs diesselbe Erklärung wie die Prüfung ablaufen soll: Alles aufschreiben und Beweise detailliert vollführen. | ||
− | 1) Beispiele von Ringe verlangt: Z, Z[X], F[X] PID F field, A ID A[X] ID, GLn(R). | + | *1) Beispiele von Ringe verlangt: Z, Z[X], F[X] PID F field, A ID A[X] ID, GLn(R). |
− | + | *2) Definition von Unitgroup und Bestimmung aller Unitgroups der vorangegangenen Ringe. | |
− | + | *3) Unitgroup von Z[X] im speziellen mit Beweis: {-1,1} Beweis per Widerspruch. | |
− | + | *4) Defintion von Ideal und was man über a,b in Z sagen kann, wenn aZ=bZ (a/b in Unitgroup von Z = {1,-1}. | |
− | + | *5) Wie sehen die Ideale in Z aus mit Beweis: I=nZ | |
− | + | *6) Aussage von CRT mit komplettem Beweis | |
Kowalski hat eine strikte Prüfungsart. Er führt einem komplett durch die Prüfung; ich wollte immer zu Galois Theory aber er liess mich nicht :(. | Kowalski hat eine strikte Prüfungsart. Er führt einem komplett durch die Prüfung; ich wollte immer zu Galois Theory aber er liess mich nicht :(. | ||
− | Desweiteren kann er penibel sein: Als ich | + | Desweiteren kann er penibel sein: Als ich ihm das CRT hingeschrieben habe mit der Definition von coprimen Idealen, hat er mich speziell darauf hingewiesen, dass Ij+Ii=A nur für i ungleich j gilt, da ich es vergessen hatte hinzuschreiben. |
Latest revision as of 21:50, 19 February 2016
Please sign with your name and the date on which you had your exam. If you use this wiki, contribute to it as well or terrible things will happen to you: like finding a clown-mask in your wardrobe while you don't own a clown-mask.
Contents
- 1 27.08.2015 13:30 Uhr, Martin
- 2 27.08.2015 13:00 Uhr, Valentin
- 3 26.08.2015, 15.30 Uhr, Alessio
- 4 26.08.2015, 14:30 Uhr, Nicola
- 5 26.08.2015, 14.00 Uhr, Sanzio
- 6 26.08.2015, 13.00 Uhr, Alessandro
- 7 25.08.2015, 14:00 Uhr, Pauline
- 8 25.08.2015, 13:00 Uhr, Nesa
- 9 25.08.2015, 11:00 Uhr, Clemens
- 10 25.08.2015, 9:00 Uhr, Aline
- 11 24.08.2015, 16:30 Uhr, Charlotte
- 12 24.08.2015, 15:30 Uhr, Samuel
- 13 24.08.2015, 13:30 Uhr, Viviane
- 14 24.08.2015, 08:28 Uhr, Manuel
- 15 24.08.2015, 09:00 Uhr, Johannes
27.08.2015 13:30 Uhr, Martin
- Galois-Korrespondenz.
- Operation der Galois-Gruppe auf den Nullstellen eines Polynoms.
- Wie bettet man die Galois-Gruppe eines Polynoms in \( S_d \) ein?
- Berechnung der Galois-Gruppe einer vierdimensionalen Erweiterung von \( \mathbb{Q} \). Bestimmung aller Zwischenkörper.
- Beweis der Galois-Korrespondenz.
- Theorie der endlichen Körper: Existenz und Eindeutigkeit.
- Warum ist der Frobenius-Homomorphismus ein Homomorphismus? Binomialkoeffizienten durch p teilbar.
- Galois-Gruppen von endlichen Erweiterungen endlicher Körper.
Aufpassen mit Notationen. Schreibt man für ein \(K\)-embedding \(\tau: L \rightarrow \overline{K} \) und \(L/K\) ist normal, so kann man eigentlich nicht schreiben, dass \(\tau \in G \), der Automorphismengruppe von L, liegt, weil die Zielmenge nicht passt. Wenn man nicht weiterkommt, gibt Kowalski Hinweise.
27.08.2015 13:00 Uhr, Valentin
- Galois correspondence
- Example for Galois correspondence (I chose splitting field of \( X^3-2 \) and talked a lot about this one, he asked for the Galois group, and why we can embed it in \(S_d\), ... )
- Proof of Galois correspondence
- Galois theory for finite extensions of finite fields
26.08.2015, 15.30 Uhr, Alessio
- Field examples
- extansions
- Galois correspondence
- some Galois group computation
26.08.2015, 14:30 Uhr, Nicola
- Field examples
- Fraction Field (Frac(K[X]) is an example for a field which contains a polynomial ring)
- extensions
- seperability
26.08.2015, 14.00 Uhr, Sanzio
- Fields: examples
- Extension: examples; does\(\mathbb{C}\) have an extension?
- Finite fields: Galois thm
- How to create a finite field
- separable extension, example of a not separable extension
26.08.2015, 13.00 Uhr, Alessandro
- Examples of field-extensions
- Splitting fields, algebraic closure etc.
- Finite fields
- How would you find the roots of \(X^3 + 2 \) in \( \mathbb{F}_{49} \)?
- Galois-correspondence and some examples
25.08.2015, 14:00 Uhr, Pauline
Wenn man nicht mehr vorankommt, gab Prof. Kowalski hilfreiche Tipps.
- Galois correspondence theorem
- Properties of finite fields
- Construction of a field
- Properties of a quadratic extension
- Primitive element theorem
- Structure theorem
- Application of structure theorem (-> Jordan canonical form)
25.08.2015, 13:00 Uhr, Nesa
- State and proof the Galois correspondence (when I was stuck he waited some time but then gave hints).
- What are separable and normal extensions? Can you give examples of separable/not separable/normal/not normal extensions?
- Do you know some theorem about separability? (finite field/char=0 --> (finite --> separable))
- What did we use Galois theory for? State some examples
- final theorem about solvability of polynomial equations
- actions of the Galois group: action on the roots of a separable polynomial. Bijection {irreducible divisors}<-->{orbits}. What is the stabilizer of a root under this action?
- cyclotomic extensions. What are they? State the main theorem. Why are the roots of unity cyclic? How do you define the injective homomorphism?
25.08.2015, 11:00 Uhr, Clemens
Praktisch dasselbe wie bei Aline:
- Bsp. group actions (Symm. group, Galois group acting on roots, multiplication...)
- Def G-morphism, morphism
- Orbit-Stabilizer thm
- Anwendung: Prop. Jordan (H<G proper subgroup => there's a conjugacy class C in G st. C^H is empty)
Kowalski ist SEHR pingelig, also immer gut überlegen vor dem Aufschreiben.
25.08.2015, 9:00 Uhr, Aline
- Beispiele group actions
- orbits
- orbit-stabilizer-theorem
- conjugacy classes
- Jordannormalform
24.08.2015, 16:30 Uhr, Charlotte
- 1) Beispiele von Ringen, beschreibe deren max und prime ideals
- 2) Beweis, dass jeder Ring ungleich Null ein maximales Ideal enthaelt
- 3) wie kann man integral domains noch charakterisieren? => man kann sie in ein field of fractions einbetten, Beschreibung davon
- 4) Structure theorem for finitely generated modules over a PID angeben. (Er nennt es Classification Theorem)
24.08.2015, 15:30 Uhr, Samuel
- 1) Beispiele für Ringe, maximal und prime ideals
- 2) Ist \(X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\) maximal ideal (nein, denn \(\mathbb{Z}\left [ X \right ]/X\mathbb{Z}\left [ X \right ]\simeq \mathbb{Z}\))
- 3) Was sind max/prime ideals von \(\mathbb{C}\left [ X \right ]\) (maximal: PC[X] für P irreducible, prime: maximal und zusätzlich zero ideal)
- 4) Krull Theorem angeben und beweisen
- 5) Zusammenhang von max/prime ideals für f:A->B ring hom., insbesondere zeigen dass f^-1(prime ideal) ebenfalls prime ist
- 6) Alternative Charakterisierung von integral domains (Einbettung in fraction field)
24.08.2015, 13:30 Uhr, Viviane
- 1) Beispiele von Ringen, maximal ideals, prime ideals.
- 2) Beweis, dass jeder nichtnulle Ring ein maximales Ideal enthält.
- 3) f:A->B ring homomorphism, was kann man über Zusammenhang von Primidealen/max. Idealen sagen.
- 4) Bsp f^-1(max ideal) ist kein max Ideal. (A=Z, B=R, {0} in B)
- 5) ID charakterisieren als Einbettung in fraction field. (genau nachgefragt, was man alles überprüfen muss / Def von *,+)
- 6) Structure theorem angeben. Dann Bsp einer Gruppe aufschreiben, die so erhalten werden könnte.
- 7) Anwendungen davon:
- 8) Beweis, dass Körper ohne Null eine zyklische Gruppe ist.
- 9) Jordannormalform Beweisskizze.
24.08.2015, 08:28 Uhr, Manuel
Direkt am Anfang erklärte er wie die Prüfung ablaufen sollte. Und zwar so: Man schreibt alles auf (auch die Beweise in detailierter Form) Das Aufgeschrieben verwendet er dann für die Bewertung.
Wir starteten mit Ringe. K) Schreibe ein Paar Ringe auf I) Z, Z[x] K) und ein nicht kommutativer Ring? I) quadratische Matrizen(GLn(R) ist kein Ring) K) group of units? I) A^x definiert K) group of units von deinen Beispielringen I) aufgeschrieben K) definition Ideal I) definiert K) beispiel in Z I) aZ K) Z a PID I) Ja und bewiesen K) CRT in Z und Euclidean division in Z I) aufgeschrieben und euclidean division kurz bewiesen K) CRT im allgemeinen I) Aufschreiben K) 08:58 Prüfung fertig
24.08.2015, 09:00 Uhr, Johannes
Sehr ähnliche Prüfung wie Manuel. Eingangs diesselbe Erklärung wie die Prüfung ablaufen soll: Alles aufschreiben und Beweise detailliert vollführen.
- 1) Beispiele von Ringe verlangt: Z, Z[X], F[X] PID F field, A ID A[X] ID, GLn(R).
- 2) Definition von Unitgroup und Bestimmung aller Unitgroups der vorangegangenen Ringe.
- 3) Unitgroup von Z[X] im speziellen mit Beweis: {-1,1} Beweis per Widerspruch.
- 4) Defintion von Ideal und was man über a,b in Z sagen kann, wenn aZ=bZ (a/b in Unitgroup von Z = {1,-1}.
- 5) Wie sehen die Ideale in Z aus mit Beweis: I=nZ
- 6) Aussage von CRT mit komplettem Beweis
Kowalski hat eine strikte Prüfungsart. Er führt einem komplett durch die Prüfung; ich wollte immer zu Galois Theory aber er liess mich nicht :(. Desweiteren kann er penibel sein: Als ich ihm das CRT hingeschrieben habe mit der Definition von coprimen Idealen, hat er mich speziell darauf hingewiesen, dass Ij+Ii=A nur für i ungleich j gilt, da ich es vergessen hatte hinzuschreiben.