Difference between revisions of "Algebra - Lorenz Halbeisen - 2017"

Revision as of 21:43, 10 August 2017

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Raffael, 07.08.2017, 11:00-11:30

Angefangen hat er mit Zentralisator und seinen Eigenschaften. Dann Zusammenhang mit Konjugationsklassen, Index von Gruppen und kurz übers Zentrum gesprochen. Hauptsatz über endliche Gruppen resp. das Korollar daraus gestreift und wieso das praktisch ist. Dann Def eines Ideals, Gestalt der Ideale in Z mit Beweis, Hauptideal, Hauptidealring, irreduzible Elemente und was für irreduzible Elemente in einem faktoriellen Ring gilt (sie sind dann Primelemente).

Def von Zerfällungskörper, Aussage des Hauptsatzes der Galoistheorie, Normalteiler der Galoisgruppe, wieso Bilder von Zwischenkörpern unter Elementen der Galoisgruppe wieder Körper sind, warum das wichtig ist etc. Gefragt, wo wir den Hauptsatz der Galoistheorie gebraucht haben.

Ich fand die Atmosphäre sehr angenehm. Wenn ich etwas wirklich nicht wusste, hab ich das auch so gesagt und er hat dann mit etwas anderem weitergemacht.

Lorraine, 07.08.2017, 11:30-12:00

Gruppe: Gruppenaxiome, Untergruppe einer zyklischen Gruppe sind zyklisch mit Beweis

Ringe: Definition vom Ideal, Hauptideal, Hauptidealring, irreduzibel, Primelement. Dann Beweis vom "In einem Hauptidealring ist jedes irreduzibel Element ein Primelement" und vom "Jeder Hauptidealring ist faktoriell"

Ich habe irgendwie zu schnell gesprochen und man hat dann während 20 Minuten über Algebra 2 gesprochen.

Körpererweiterung: Definition vom Zerfällungskörper, Beweis vom Existenz eines Zerfällungskörper, Aussage von Eindeutigkeit des Zerfällungskörper

Galois: Definition von Galoiserweiterung, Definition von normal und separabel. Warum separabel nicht wichtig ist? Ich habe gesagt: Jeder Körper der Charakteristik 0 ist perfekt (mit Beweis) und dann jeder endliche Körper ist perfekt Dann Aussage von der Galoistheorie und was passiert, falls die UG ein Normalteiler ist? Ich habe von M:K normal gesprochen(ich weiss nicht, ob es richtig ist) Dann haben wir noch während einer Minute über die Anwendungen der Galoistheorie gesprochen.

Horace, 08.08.2017, 11:00-11:30

Gruppentheorie: Untergruppen von zyklische Gruppen sind zyklisch (Beweis), Lagrange (Beweisskizze), \(xH=yH \vee xH \cap yH=\emptyset\) (Beweis), Satz über endlich erzeugte abelsche gruppen (Aussage, Konstruktion mit die \(N_i \), Aussage des Lemma 4.3)

Körper und Ringe: Hauptidealring (definition, beispiel), Eigenschaften von Primidealen in Hauptidealringe (zitieren), die einzige endliche Körper sind \( \mathbb{F}_{p^n} \)(Beweis von Satz 16.3 und dass es kein Körper mit \( k \neq p^n \) Elementen gibt)

Galoistheorie: Galoisgruppen (definition), Galoisch (definition, Eigenschaften), Hauptsatz der Galoistheorie (Aussage), \( Gal(L:M) \unlhd Gal(L:K) \Rightarrow ? \) (Aussage), konstruierbaren Punkten (definition), \( [L:\mathbb{Q}]=2^l \) und \( L:\mathbb{Q} \) normal, so ist \(L\) konstruierbar (ausführliche Beweis am Anfang, Beweisskizze am Ende)

Ich fand es im allgemein sehr einfach, die mündliche Prüfung so zu führen, dass nur meine Lieblingsthemen gefragt wurden. Ich würde empfehlen, dasselbe zu machen.

Luca, 07.08.2017, 13:30-14:00

Gruppe: Er hat mich das Sylow Theorem gefragt und er möchtet wissen, wie das Beweis funktioniert. Danach hat er mich das Beispiel mit |G|=100 gefragt und die Ordnung von der 2-Sylow UG gefragt. Definition von semidirekte Produkt.

Ringe: Definition maximales Ring und die Relation mit Körper (m maximal <-> R/m Körper). Definition Primideal (er möchtet beide haben) und dann zeigen wieso die beide äquivalent sind.

Körper: Beispiel eine endliche Körper. Hauptsatz der Galoistheorie.

Gian Luca, 07.08.2017, 14:00-14:30

Gruppentheorie: Sylowsatz, ohne Beweis, dann ein Beispiel dazu: Kann eine Gruppe der Ordnung 100 sowohl eine UG der Ordnung 4 isomorph zu C_4 und eine isomorph zu C_2*C_2 haben? Definition vom semidirekten Produkt. Ringe: Wie sind Primideale definiert, zeige, dass R/p ein Integritätsbereich ist. Wie sind maximale Ideale definiert? zeige eine Richtung der Äquivalenz: m maximales Ideal gdw. R/m Körper. Galoistheorie: Gib die Aussage des Hauptsatzes an und definiere die dazugehörigen Begriffe. Die Atmosphäre war angenehm, Herr Halbeisen hilft, wenn er merkt, dass du nicht weiterkommst.

Kevin, 07.08 14:30 - 15:00

Es wird auf A4 blätter geschrieben. Ich habe nur die Stichwörter/Formeln aufgeschrieben. Prof. Halbeisen stellt die fragen, er scheint einen A4 Fragenkatalog zu haben.

• Gruppentheorie:
  • Satz von sylow
    • Was ist die Aussage
    • Es wurde mir eine Beweisidee oder ein Teil des Beweises gefragt, zusätzlich wurde es gefragt welche Hilfssätze könnten im beweis gefragt werden. Ich habe mit der Beweis angefangen, konnte es nicht so genau weiterführen aber es schien genug zu sein.
  • Semidirektes Produkt: Definition, explizite Beschreibung als Gruppe mit der Gruppenoperation, wann wird es den üblichen Gruppenprodukt sein (trivialer fall vgl. Zwischenprüfung).
• Ringtheorie:
  • Primideal
    • Definition
    • Gibt es alternative Definitionen, sind sie äquivalent, könnte ich eine Richtung beweisen.
• Algebra II
  • Galoistheorie
    • Wann ist eine Erweiterung Galoissch
    • Kann ich der Hauptsatz der Galoistheorie formulieren
    • Folgerung? Körperturm und "Gruppenturm"
    • \(K \subseteq M \subseteq L \) dann wann ist Gal(M:K) Galoissch, und wozu es isomorph ist.

Während ich Fehler gemacht habe (habe ich etwas nicht spezifiziert, notation falsch, usw.) prof. Halbeisen hat mich immer sofort korrigiert, aber es ging alles sehr angenehm.

Carl, 07.08 16:30 - 17:00

Gruppen: Wie haben wir die Ordnung von Elementen einer Gruppe definiert. Kleinste Zahl... Was kann über die Ordnung der Gruppe in Relation zur Ordnung des Elements aussagen \( \mathrm{ord}(x) \big| | G | \). Wie zeigt man das? Mit dem Index.. gehen den Beweis kurz durch. Nennen sie alle Gruppen der Ordnung zwei bis sechs \(C_2, C_3, C_4, C_2\times C_2, C_5, C_6, D_3\) sollte noch erklären warum \(D_3 \cong S_3\).

Ringe und Körper: Kann noch erinnern, was sind maximale Ideale und Beweis von \(\mathfrak{m}\) ein maximales ideal genau dann wenn \(R/\mathfrak{m}\) Körper.

Körpererweiterung: Wie ist die Ordnung einer Körpererweiterung definiert. Wie beweist man das für ein beliebiges Polynom ein Körper existiert sodass das Polynom zerfällt. Hab erst spaßeshalber versucht mit Existenz vom algebraischen Abschluss, dann haben Professor und Beisitzer 1 Minute diskutiert ob man die zu zeigende Aussage nicht in dem Beweis vom Abschluss braucht. Ich hatte keine Ahnung, hab mir den Beweis nicht angekuckt. Dann ist mir noch eingefallen das es diesen Satz zur einfachen Erweiterung gab und man es damit beweisen könnte. Dann sollte ich sagen wie man Satz 14.6 beweist, wusste ich leider nicht mehr. Er wollte übrigens am Anfang wohl Satz 15.1.

Galoistheorie: Ich sollte den Hauptsatz aufschreiben und die verwendeten Definitionen. Dann noch ein paar Nachfragen.

Am Ende noch 2 min, ich soll mir eine von den Anwendungen aussuchen, ich fange an mit Konstruktion mit Lineal und Zirkel, dann wollte er wissen was wir in dem Teil "noch" gebraucht haben ausser Galoistheorie. Keine Ahnung was er wissen wollte, also erzähle ich einfach was mir so an Ergebnissen einfällt, er wollte noch wissen das bei Satz 21.5 zusätzlich normal gefordert war, was ich aber nicht wusste.

Fazit: Es wurden eigentlich nur Sachen aus der Vorlesung gefragt. Ich hab oft einfach verbal geantwortet, es reichten die Beweis Ideen wenn überhaupt. Viel Glück!

Roman, 08.08.2017, 10:30-11:00

• Gruppentheorie:
  • Nenne alle Gruppen der mit Ordnungen von 2 bis 6
  • Beweis von Cauchy
  • Was ist das Semi-direkte Produkt?
  • Aussage der Sylow-Sätze
• Ringe:
  • Was ist ein Hauptidealring?
  • Was sind die Primideale von von den Ganzen Zahlen?(aufpassen: (0) ist auch primideal)
  • Sind Ideale erzeugt von Primzahlen maximal?
• Körper
  • Wie konstruiert man einen Zerfällungskörper?
  • Was ist eine normale/seperable Körpererweiterung?
  • Aussage vom Hauptsatz der Galoisteorie?
  • Eigenschaften der Galoiskorrespondenz(Normalteiler,Umkehrung von Inklusionen)
  • Wann ist eine Körpererweiterung konstruierbar?
  • Beweis dass falls der Grad einer normalen Körpererweiterung \(2^k\) dann ist diese konstruierbar.

Clemens, 08.08.2017, 11:30-12:00

Gruppen

Halbeisen hat grinsend auf mein T-Shirt geschaut, auf welchem ein Rubiks Cube zu sehen ist. Passend dazu haben wir deshalb mit der Würfelgruppe angefangen.

Würfelgruppe: Anzahl Elemente, isomorph zu was, verschiedene Untergruppen, Normalteiler, Sylow-p-Untergruppen. Die Sylow-2-Untergruppen sind isomorph zur Diedergruppe D_4 und diese ist isomorph zum semidirekten Produkt von C_2 mit C_4, deswegen damit weiter gemacht.

Semidirektes Produkt: Definition (wann ist G das semidirekte Produkt von zwei Untergruppen N und H?) und Konstruktion vom semid. Prod. von zwei beliebigen Gruppen.

Ringe

Def. von Hauptidealring, irreduzible Elemente, Primelemente.

Dann sollte ich beweisen, dass in einem Hauptidealring irreduzible Elemente prim sind. Das wusste ich nicht, ich sagte dass ich nur den Beweis kenne in einem faktoriellen Ring. Dann habe ich stattdessen das bewiesen.

Dann noch zum Quotientenkörper Quot(R): Definition, Eigenschaft (kleinster Körper, der R enthält) und die Frage, wieso R ein Integritätsring sein muss.

Körper

Grad einer Körperweiterung L:K, dann noch im Fall L=K(a). Was ist dann eine Basis?

Galoische Erweiterung: Definition und die Definitionen von normal & separabel.

Hauptsatz der Galoistheorie: Musste die Aussage hinschreiben und dann war noch die Frage was wenn M ein Zw. Körper ist und M:K normal ist? Wozu ist dann Gal(M:K) isomorph?

Radikalerweiterungen: Definition von auflösbarer Gruppe, Radikalerweiterung, Zusammenhang dieser beiden und wozu wir das gebraucht haben. (Um zu zeigen, dass es keine expliziten Lösungsformeln vom Grad 5 oder höher gibt, weil S_n für n>=5 nicht auflösbar ist)

Ich wurde fast keine Beweise gefragt, hauptsächlich Definitionen und die Aussagen der Sätze.

Milos, 09.08.2017, 14:00-14:30

• Gruppentheorie:
  • Nennen Sie Eigenschaften von einem Gruppenhomomorphismus.
  • Zeigen Sie, dass \( \phi(e_G)=e_H \).
  • Was sind die Normalteiler von Permutationsgruppen vom Grad \( n\geqslant 5\)?
  • Beweisen Sie, dass \( A_n \) für \(n=5\) einfach ist.
• Ringe:
  • Was ist ein Hauptidealring?
  • Nennen Sie Eigenschaften von einem Hauptidealring.
  • Beweisen Sie, dass irreduzible Element im Hauptidealring Primelemente sind.
  • Beweisen Sie, dass ein Hauptidealring faktoriell ist.
• Körpererweiterungen
  • Was ist die Grösse eines endlichen Körpers und wie haben wir endliche Körper beschrieben?
  • Zeigen Sie, dass wenn wir einen Körper haben und ein Polynom, wir eine einfache Erweiterung mit einer Nullstelle des Polynoms konstruieren können.
  • Zeigen Sie, dass wir Körper konstruieren können, über dem dieses Polynom zerfallen wird.
  • Was können wir über zwei Zerfällungskörper vom gleichen Polynom sagen?
  • Ist f ein irreduzibles Polynom über \( K[X] \) und L sein Zerfällungskörper, was können wir über die Grösse von \( [L:K] \) sagen?
  • Ist L ein Zerfällungskörper eines separablen Polynoms \(f \in K[X] \), in welcher Verbindung steht der Grad der Körpererweiterung zur Grösse von \( Gal(L:K)\)?
  • Was ist ein Kreisteilungspolynom?
  • Was ist der Grad der Körpererweiterung des Zerfällungskörpers vom Kreisteilungspolynom über den rationalen Zahlen?

Die letzten zwei Fragen wurden von der Hauptassistentin gestellt.

Robert 09.08 15:30-16:00

Am Anfang wollte er wissen, wie ich beweisen würde, dass eine Gruppe, bei welcher jedes Element Ordnung zwei hat, abelsch ist. Dann fragte, er von welchen Gruppen ich sicher wüsse, dass sie abelsch sind. Antwort: zyklische Gruppen von Ordnung p. Er fragte warum und als ich wegen Lagrange sagte, wollte er dessen Beweis wissen. Dann redeten wir über endlich erzeugte abelsche Gruppen, Hauptsatz, er wollte wissen, wie man ihn beweist, habe nur die Grundstruktur gesagt, bin mir nicht sicher, ob er zufrieden war.

Er wollte wissen, was ein Hauptidealring ist und ein Beispiel. Dann sprachen wir über maximale Ideale und Primideale am Beispiel Z. Dann ging es um den ersten Isomorphiesatz, wie lautet er, Beweisskizze. Bin mir nicht mehr sicher, ob das alles zu Ringen war.

Dann redeten wir über endliche Körper, was für endliche Körper gibt es, wieso gibt es diese und nur diese? Wieso gibt es Zerfällungskörper? Wieso können wir überhaupt Körpererweiterungen macheen können, das ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle hat? Am Schluss noch wieso alle endlichen Körper der gleichen Ordnung isomorph sind.

Simone 10.08 11:30-12:00

Gruppe:

• Definition von Zentrum und Eigenschaften
• Zentrum von Diedergruppe
• Sylow angewendet auf Gruppe der Ordnung 100, welche sind die Normalteiler
• Definition von semidirektes Produkt und warum gilt mit diese Gruppe

Ringe:

• 1. Isomorphiesatz: Aussage
• Anwendung auf R = Z[X,Y], S = Z[X] , Ideal: a = (X,Y)

Körpererweiterungen:

• Def von Zerfällungskörper und wieso existiert immer eine einfache Erweiterung aus ein Polynom (Satz 14.6) mit Beweis, warum existiert dann Zerfällungskörper (Satz 15.1)
• Zerfällungskörper von X^4-4 und berechne dann die Galoisgruppe
• Hauptsatz der Galoistheorie
• Anwendung auf die Zerfällungskörper (mit Baum von Untergruppe und Zwischenkörpern)

Daniel, 10.08.2017, 15:30-16:00

• Gruppen
  • Was sind die Untergruppen von Z? (mit Beweis) Antwort: Aufgabe 12 aus den Serien.
  • Aut(Z/nZ) = ? (Aufgabe 27a) aus den Serien); |(Z/nZ)*| = ? Was für p Prim?
  • Definition von der Faktorgruppe G/N. Wieso ist es wicthig, dass N ein Normalteiler ist?
  • Aufgabe 54 aus den Serien.

• Ringe
  • Definition von Hauptidealring, Hauptideal
  • 1. Isomorphiesatz (Aussage & Beweisskizze)
  • Was ist ein faktorieller Ring?
  • Zeige: Hauptidealring ist faktoriell

• Körper
  • Definition von Grad einer Körpererweiterung.
  • Was ist [Q(2^(1/4)):Q] = ? (Minimalpolynom ist f:= X^4 - 2)
  • Satz 14.6a) beweisen
  • A:= Gal(Q(2^(1/4)):Q) = ?
  • Ist A = Gal(f)?

Professor Halbeisen ist sehr nett und er versucht zu helfen, wenn man nicht weiterkommt. Waltraud hat auch zwei Fragen gestellt, die aber ich jetzt nicht mehr erinnere. Viel Glück!